Dat is een schuifpuzzel die ik nooit heb kunnen oplossen.

Wat is de bedoeling?

De puzzel heeft 15 vierkante tegels genummerd van 1 tot en met 15 in een frame van 4 tegelposities hoog en 4 tegelposities breed, met één onbezette positie. Tegels in dezelfde rij of kolom van de open positie kunnen worden verplaatst door ze respectievelijk horizontaal of verticaal te schuiven (naar de onbezette positie.
Het doel van de puzzel is om de tegels in numerieke volgorde te plaatsen (van links naar rechts, van boven naar beneden).

Vernoemd naar het aantal tegels in het frame, kan de 15-puzzel ook een “16-puzzel” worden genoemd, verwijzend naar de totale tegelcapaciteit. Soortgelijke namen worden gebruikt voor varianten van verschillende afmetingen van de 15-puzzel, zoals de 8-puzzel, die 8 tegels in een 3×3-frame heeft.

Oplosbaarheid?

In 1879, door Johnson & Story, werd al aangetoond dat de helft van de startposities voor de n puzzel onmogelijk is op te lossen, hoeveel zetten er ook worden gedaan (zij toonden dit aan met behulp van het aantal permutaties (even of oneven)).

Dus het is niet zo gek dat voor een willekeurige startpositie de kans 50:50 is dat hij überhaupt oplosbaar is!

Geschiedenis

De puzzel werd “uitgevonden” door Noyes Palmer Chapman (1811-1889), een postbode in Canastota, New York, van wie wordt gezegd dat hij al in 1874 vrienden een voorloperpuzzel liet zien, bestaande uit 16 genummerde blokken die in elkaar moesten worden gezet, in rijen van vier, elk opgeteld 34 (zie magisch vierkant).

Kopieën van de verbeterde 15 puzzel vonden hun weg naar Syracuse, New York, via Chapmans zoon Frank, en van daaruit, via diverse verbindingen, naar Watch Hill, Rhode Island, en uiteindelijk naar Hartford, Connecticut, waar studenten van de Amerikaanse School for the Deaf begonnen met het vervaardigen van de puzzel.
In december 1879 werden deze zowel lokaal als in Boston, Massachusetts verkocht.

Matthias Rice, die een houtbewerkingsbedrijf in Boston had, begon met de productie van de puzzel ergens in december 1879 en overtuigde een “Yankee Notions” fancy goederen dealer om ze te verkopen onder de naam van “Gem Puzzle.”
Eind januari 1880 trok Charles Pevey, een tandarts in Worcester, Massachusetts, enige aandacht door een geldelijke beloning uit te reiken voor de oplossing van de 15 Puzzel.
Het spel werd daarna (daardoor?) in 1880 een rage in de VS.

Chapman vroeg op 21 februari 1880 patent aan op zijn “Block Solitaire Puzzle“. Dit patent werd echter afgewezen, waarschijnlijk omdat het niet voldoende verschilde van het “Puzzle-Blocks“-patent uit 1878, verleend aan Ernest U. Kinsey.

Van 1891 tot aan zijn dood in 1911 beweerde Sam Loyd¹ dat hij de puzzel had uitgevonden. Loyd had echter geen verband met de uitvinding of aanvankelijke populariteit van de puzzel. Loyd’s eerste artikel over de puzzel werd gepubliceerd in 1886, en pas in 1891 beweerde hij voor het eerst de uitvinder te zijn.

Enige latere belangstelling werd aangewakkerd door Loyd’s aanbod van een prijs van $ 1.000 (equivalent aan $ 35.833 in 2025) aan iedereen die een oplossing kon bieden voor het bereiken van een bepaalde combinatie gespecificeerd door Loyd, namelijk het terugdraaien van de 14 en 15, die Loyd de 14-15 puzzel noemde.
Dit is onmogelijk, zoals meer dan tien jaar eerder al was aangetoond door Johnson & Story (1879), omdat het “een transformatie vereist van een even naar een oneven permutatie“.

Bobby Fischer

Schaakwereldkampioen Bobby Fischer² was een expert in het oplossen van de 15 puzzel. Hij was getimed om het binnen 17 seconden te kunnen oplossen; Fischer demonstreerde dit op 8 november 1972 in The Tonight Show met Johnny Carson.

¹ Samuel Loyd (1841-1911) was een Amerikaanse schaker, schaakcomponist, puzzelauteur en recreatief wiskundige. Loyd werd geboren in Philadelphia, maar groeide op in New York City.
Als schaakcomponist maakte hij een aantal schaakproblemen, vaak met interessante thema’s. Op zijn hoogtepunt was Loyd een van de beste schakers in de VS, en hij stond toen op de 15e plaats van de wereld.
Hij speelde met weinig succes in het sterke schaaktoernooi van Parijs in 1867 (gewonnen door Ignatz von Kolisch) en eindigde onderaan het veld.
Na zijn dood werd zijn boek Cyclopedia of 5000 Puzzles gepubliceerd (in 1914) door zijn zoon, Samuel Loyd Jr.

² Robert James Fischer (1943-2008) was een Amerikaanse schaakgrootmeester en de elfde wereldkampioen schaken. Als schaakwonder won hij op 14-jarige leeftijd zijn eerste van een recordaantal van acht Amerikaanse kampioenschappen.
In 1964 won hij met een score van 11–0, de enige perfecte score in de geschiedenis van het toernooi. Fischer kwalificeerde zich voor het Wereldkampioenschap van 1972 en won de wedstrijden met Mark Taimanov en Bent Larsen met 6–0 scores.
Na opnieuw een kwalificatiewedstrijd tegen Tigran Petrosian te hebben gewonnen, won Fischer de titelwedstrijd tegen Boris Spassky van de USSR, in Reykjavík, IJsland. De wedstrijd, gepubliceerd als een confrontatie uit de Koude Oorlog tussen de VS en de USSR, trok wereldwijd meer belangstelling dan enig schaakkampioenschap ervoor of daarna.

Het bericht De 15 puzzel verscheen eerst op HEESEN Online.

Oorsprong

Magische vierkanten blijken juist te behoren tot de oudst bekende wiskundige objecten. De eerst bekende is natuurlijk de kleinst mogelijke versie: het 3 × 3 magische vierkant.
Volgens Chinese legenden stamt die uit 2800 v.Chr. Volgens deze legenden stroomde de rivier Lo geregeld over. Men geloofde dat er offers aan de riviergod gebracht moesten worden om de rivier te kalmeren, maar ieder offer bleek tevergeefs.

Na weer zo’n overstroming merkte een kind op, dat er een schildpad op het land aanspoelde, met negen opmerkelijke tekens op haar schild, in een drie bij drie raster. Op het allereerste gezicht zag men niet echt iets opvallends aan dat vierkant.

Bij nadere beschouwing bleek echter, dat er negen verschillende getallen (1 t/m 9) op het schild stonden, en dat de kolommen, de rijen en de diagonalen alle dezelfde som opleverden, namelijk 15. Dit werd als een duidelijke opdracht beschouwd en leidde uiteindelijk tot het brengen van 15 offers aan de riviergod, om de rivier te kalmeren.
Dit vierkant werd voortaan Lo Shu genoemd, wat betekent: Boek van de rivier Lo.

Het Lo Shu vierkant wordt in astrologische kringen ook wel het Saturnusvierkant genoemd.

DE som van alle getallen in dit vierkant is 45. Dit vierkant heeft nog een hogere magische eigenschap, namelijk: 4² + 9² + 2 ² = 8²+ 1² + 6² = 101, en 4² + 3² + 8² = 2² + 7² + 6² = 89.

Elk magisch vierkant met drie velden kan worden verkregen uit het Lo Shu vierkant door rotatie of spiegeling. Er zijn namelijk op het Lo Shu vierkant enkele variaties mogelijk. Door kanteling van de rijen verschuiven deze, maar blijft de magische constante = 15 gelijk.

Het eerste 4 bij 4 magische vierkant verscheen rond 1100 in India.

Middeleeuwen

Ook de Europeanen raakten geïnteresseerd in de magische vierkanten uit het Oosten. Tot de zestiende eeuw werden de magische vierkanen hier nog beschouwd als figuren met toverkracht. Ze werden gebruikt voor het bezweren van geesten.
In de eeuw van de verlichting werden magische vierkanten de geliefkoosde onderwerpen van de rekenkunstenaars en wiskundigen.

Een uit die tijd bekend magisch vierkant komt voor op de, al genoemde, gravure Melencolia I van Albrecht Dürer¹ uit 1514.

Het magische vierkant is rechtsboven afgebeeld en heeft op de onderste rij 1514 het jaar waarin de gravure gecreëerd werd! Hieronder een beter zicht op het vierkant:

Dit magisch vierkant is opmerkelijk omdat niet alleen de rijen, kolommen en diagonalen dezelfde som 34 hebben, maar onder meer ook:

• de vier hoekpunten;
• de vier middelste getallen;
• de blokken van 2×2 getallen in de linkerboven-, rechterboven-, linkerbeneden- of rechterbenedenhoek;
• de twee middelste getallen in de eerste en laatste kolom resp. in de bovenste en onderste rij.

Definitie

Door de wiskundigen werd een magisch vierkant gedefinieerd als een vierkant, dat als een dambord verdeeld is in n² velden. In die n² velden zet men de getallen 1, 2,… n² zodanig, dat zij zowel horizontaal als verticaal, maar ook in de diagonalen steeds dezelfde som geven.

Als klassiek voorbeeld uit die tijd werd n = 4 gekozen. Het constante getal (de som van rij, kolom en diagonaal) van dit vierkant is vervolgens: 1/2n( n² + 1 ), waarbij n = aantal velden.

Als je dit invult voor een 4×4 dan wordt dit: 2 (16 + 1) = 34. Dit is ook waar voor 3×3: 1.5 (9 + 1) = 15.

¹ Albrecht Dürer (1471-1528) was een Duits kunstschilder, tekenaar, maker van houtsneden en kopergravures, kunsttheoreticus, meetkundige en humanist. Zijn atelier specialiseerde zich in druktechnieken. Met name de kopergravure maakte een grote oplage mogelijk.

Een van Dürers bekendste prenten is Melencolia I, die een visie geeft op de melancholie. De Romeinse I slaat waarschijnlijk op het type zwartgalligheid, volgens de indeling in drie types door de Duitse humanist Cornelius Agrippa. Bij type I, Melencholia Imaginativa, waar kunstenaars aan zouden lijden, heeft verbeelding de overhand op verstand.

• Rechtsonder zit een trieste figuur met vleugels. De figuur steunt het hoofd op de linkerhand en kijkt verbijsterd voor zich uit, ondanks de lauwerkrans. De lichaamshouding is die van de vroegere voorbeelden van melancholie. In de rechterhand heeft de figuur een passer en daaronder een boek. De figuur draagt een weelderige jurk met in de plooien een geldbeurs en sleutels. Ondanks alle middelen zit de figuur er verslagen bij, de kern van de melancholie.
• Overal symbolische voorwerpen en dieren. Aan de voeten van de figuur liggen een bol en links een groot veelvlak. Een hond – symbool van de trouw – ligt in een kronkel te slapen.
• Boven het hoofd hangen een weegschaal in evenwicht, een zandloper, een doodsklok en een magisch vierkant met het jaartal 1514 erin, waarvan alle diagonalen, rijen, kolommen en 2×2 hoeken opgeteld het getal 34 opleveren: symbolen van wiskunde, de nieuwe wetenschappelijke ontdekkingen en de vergankelijkheid.
• In het midden een “putto” op een molensteen die schrijft.
• Op de grond een hamer, een schaaf, graveerstiften en een zaag, gereedschap van timmerman en kunstenaar.
• Op de achtergrond links een regenboog, een fel licht (zon of komeet) en een vleermuis die de titel Melencolia I van de prent als banier draagt en een ladder. In de verte een stad aan de kust van een zee of meer, waarin het felle licht weerkaatst.

Een interpretatie is dat de vleugels verwijzen naar de goddelijkheid van de ziel, maar deze mens is niet goddelijk, want aan de aarde gebonden. De symbolen staan voor het wikken en wegen van de mens, die zich ondanks kennis en wetenschap na de arbeid onbevredigd voelt met het tijdelijke en vergankelijke.
De melancholie komt voort uit onzekerheid over het bestaan. De goddelijke bovenzinnelijke werkelijkheid die op de achtergrond nog duidelijk aanwezig is, werd vanaf de vijftiende eeuw langzamerhand verdrongen door het ‘nieuwe licht‘. Dat licht valt rechts buiten beeld op de figuur en stelt de ontwikkeling van de empirische wetenschappen voor. Melancholie en vertwijfeling is het gevolg van de tweespalt tussen twee totaal verschillende mens- en wereldbeelden.

De Melencolia I wordt ook genoemd in het boek Het Verloren Symbool van Dan Brown. Hierin staat op een doosje waarin de gouden deksteen van een piramide wordt bewaard: 1514 AD. AD staat voor Albrecht Dürer, en 1514 is een verwijzing naar de Melencolia I.

Het bericht Magisch vierkant verscheen eerst op HEESEN Online.