Er zijn in de Principia Mathematica 379 pagina’s ondraaglijke logica voor nodig om te bewijzen dat 1 + 1 = 2. Het uiteindelijke doel is wiskundig onmogelijk gebleken.
Het magnum opus van Alfred North Whitehead1 en Bertrand Russell2 ligt in de schappen van de bibliotheek als een monumentaal overblijfsel uit de geschiedenis. Gepubliceerd tussen 1910 en 1913, is het driedelige werk ontstaan uit een crisis in de grondslagen van de wiskunde. Paradoxen begonnen in de verzamelingenleer te verschijnen en bedreigden de logische basis van de rekenkunde3. Whitehead en Russell probeerden dit op te lossen door aan te tonen dat alle wiskundige waarheden volledig konden worden afgeleid uit een kleine reeks onbetwistbare logische axioma’s, een filosofisch project dat bekend staat als logicisme4.
Om paradoxen te elimineren, hebben de auteurs de ‘vertakte typetheorie‘5 uitgevonden wat zelfreferentiële verzamelingen verhinderd (die aanleiding waren voor de Russell paradox). Maar voor de toepassing van dit systeem was een tergend dichte, bijna onleesbare symbolische taal nodig, genaamd Peano-Russell-notatie. Elke stap van de logica moest in microscopisch detail worden uiteengezet. Tegen de tijd dat de Principia wiskunde op een hoger niveau bereikte, was de notatie zo log dat het onmogelijk was om deze te gebruiken voor praktische bewijzen.
De meeste werkende wiskundigen vonden de symbolische manipulatie vermoeiend en wendden zich tot de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer (ZFC)6. ZFC was veel eenvoudiger en intuïtiever en werd al snel de gouden standaardbasis voor de moderne wiskunde. De definitieve klap voor de Principia was niet praktisch, maar wiskundig.
In 1931 publiceerde de logicus Kurt Gödel7 zijn First Incompleteness Theorem. Gödel bewees dat elk consistent formeel systeem dat complex genoeg is om de basisrekenkunde te beschrijven, altijd ware uitspraken zal bevatten die niet vanuit het systeem zelf kunnen worden bewezen. Dit ene bewijs ontmantelde definitief de grote ambitie van Whitehead en Russell: er is dus geen enkelvoudige, volledige en perfect consistente formalisering van alle wiskunde. Hoewel geen enkele moderne wiskundige de Principia gebruikt om vergelijkingen op te lossen, blijft de intellectuele voetafdruk enorm.
De rigoureuze symbolische logica die Whitehead en Russell ontwikkelden, had een grote invloed op de vroege informatica. Hun poging om wiskundig redeneren te mechaniseren legde de basis voor figuren als Alan Turing om berekeningen te formaliseren, wat rechtstreeks de weg vrijmaakte voor de algoritmen die de moderne wereld besturen.
1 Alfred North Whitehead (1861-1947) was een Brits-Amerikaanse filosoof, natuurkundige en wiskundige. Zijn bekendste wiskundige werk is de Principia Mathematica, dat hij schreef met Bertrand Russell. In de natuurkunde was zijn bekendste werk een zwaartekrachtstheorie die decennialang concurreerde met de algemene relativiteitstheorie van Albert Einstein. In de filosofie was hij de grondlegger van de procesfilosofie.
2 Bertrand Arthur William Russell (1872–1970) was een Britse filosoof, historicus, logicus, wiskundige, voorvechter voor sociale vernieuwing, humanist, pacifist en een prominent atheïstisch rationalist. Russell werd in 1949 de Order of Merit toegekend en in 1950 ontving hij de Nobelprijs voor Literatuur. Als schrijver heeft hij de filosofie gepopulariseerd en commentaren geschreven over vele onderwerpen.
3 Over die paradoxen bestaat een leuke anecdote met Russell als hoofdfiguur. De Duitse wiskundige en logicus Gottlob Frege was de eerste belangrijke voorstander van het logicisme – het idee dat wiskunde reduceerbaar is tot logica. Zijn Grundgesetze der Arithmetik (Grondwetten van Rekenkunde) was een poging om de wetten van de rekenkunde uit de logica af te leiden. Na publicatie van het eerste deel (op Freges eigen kosten) ontdekte Russell de Russellparadox en toonde aan dat de axioma’s van de Grondwetten tot deze tegenstelling leidden. Hij schreef Frege hierover, die de paradox onderkende in een appendix bij het tweede deel van zijn werk.
4 Het logicisme is een van de scholen van denken in de filosofie van de wiskunde. Het logicisme stelt dat de wiskunde een uitbreiding van de logica is en dat daarom (een deel van) de wiskunde reduceerbaar is tot logica. Bertrand Russell en Alfred North Whitehead maakten zich sterk voor deze theorie, waarvan Gottlob Frege de geestelijke vader was. Frege gaf het project op, nadat Russell een paradox had gevonden die een inconsistentie in de naïeve verzamelingenleer aan het licht bracht.
5 De vertakte typentheorie, geïntroduceerd door Bertrand Russell in Principia Mathematica, is een logisch systeem dat is ontworpen om paradoxen te voorkomen. Deze paradoxen kwamen voort uit het onbeperkte gebruik van predikaatfuncties als variabelen. De theorie stelt een hiërarchie van logische typen vast, waarbij entiteiten van een bepaald type alleen leden van een lager type kunnen bevatten. Deze structuur voorkomt zelfreferentiële definities en circulair redeneren, zoals de paradox van Russell, die het bestaan in twijfel trekt van een verzameling die alle verzamelingen bevat die zichzelf niet bevatten.
6 In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, vernoemd naar de wiskundigen Ernst Zermelo en Abraham Fraenkel en vaak afgekort tot ZF, een van de verschillende axiomatische systemen, die in het begin van de twintigste eeuw werden voorgesteld om een verzamelingenleer te formuleren, zonder de paradoxen van de naïeve verzamelingenleer, zoals de paradox van Russell. In het bijzonder bevat ZF niet het comprehensieaxioma, maar slechts een beperkte variant ervan. Daardoor is het in ZF niet voor elke eigenschap mogelijk een verzameling te vormen van alle objecten die deze eigenschap hebben.
Vandaag de dag is de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer met keuzeaxioma (afgekort tot ZFC, waarbij de C voor het Engelse Choice staat) de standaardvorm van de axiomatische verzamelingenleer en als zodanig het meest gebruikelijke fundament van de wiskunde.
7 Kurt Friedrich Gödel (1906–1978) was een Oostenrijks-Amerikaans wiskundige, logicus en filosoof. Hij wordt gezien als een van de belangrijkste logici aller tijden. Gödel heeft een enorme invloed gehad op het wetenschappelijke en filosofische denken van de 20e eeuw, doordat hij het eerdere werk van Bertrand Russell, A. N. Whitehead en David Hilbert om de wiskunde op een formele basis van een sluitend overkoepelend axiomatisch systeem te grondvesten, in belangrijke mate ondergroef. In 1931 bewees Gödel namelijk dat binnen elk zelfconsistent recursief axiomatisch systeem, dat krachtig genoeg is om de rekenkunde van de natuurlijke getallen te beschrijven (Peano-rekenkunde), er ten minste een ware stelling over de natuurlijke getallen bestaat, die niet bewezen kan worden op basis van de axioma’s van dit systeem. Bij de bewijsvoering van deze stelling ontwikkelde Gödel een techniek die tegenwoordig bekendstaat als de Gödel-nummering, die aan elke formele uitspraak een natuurlijk getal toekent.
Deze stelling staat bekend als de eerste onvolledigheidsstelling van Gödel.