In 1638 ontdekte Galilei1 een paradox die zijn intuïtie op de proef stelde: er zijn precies evenveel perfecte kwadraten als gehele getallen, hoewel de meeste gehele getallen geen kwadraten zijn. Zijn paradoxale redenering veranderde wiskunde.
Twee oneindige verzamelingen
In zijn laatste boek, Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze2 stelde Galileo een gedachte-experiment voor over oneindige verzamelingen.
Hij evalueerde twee groepen getallen. De eerste bevatte alle positieve gehele getallen: 1, 2, 3, 4, 5, enzovoort. De tweede bevatte alleen de perfecte kwadraten: 1, 4, 9, 16, 25, en dus, benadrukte Galileo, twee logisch verantwoorde maar volledig incompatibele waarnemingen.
Want: perfecte kwadraten zijn relatief zeldzaam. De meeste gehele getallen 2, 3, 5, 6, 7 en 8 zijn geen kwadraten. Naarmate getallen groter worden, worden de gaten tussen kwadraten aanzienlijk groter. Omdat de kwadraten dus slechts een kleine deelverzameling zijn van de gehele getallen, moet de verzameling van alle gehele getallen veel groter zijn dan de verzameling kwadraten. Maar, elk geheel getal kan worden gekwadrateerd om precies één perfect kwadraat te produceren, en elk perfect kwadraat heeft precies één geheel getal als positieve vierkantswortel. Je kunt ze dus perfect koppelen: 1 met 1, 2 met 4, 3 met 9 enzovoorts, zonder ooit op te raken. De groepen werken perfect samen, daarom moeten de twee verzamelingen precies even groot zijn, terwijl de een een deelverzameling van de ander is, en dat is met elkaar in tegenspraak.
Wel/Niet even groot?
Geconfronteerd met deze paradox concludeerde Galileo dat de begrippen “minder dan“, “gelijk aan” en “groter dan” alleen kunnen worden toegepast op eindige groepen. Hij stelde dat een oneindige grootheid een absolutie is die niet kan worden vergeleken met een andere oneindige grootheid, en concludeerde dat de menselijke geest eenvoudigweg niet kon rekenen met oneindigheid.
Galileo had het mis, maar zijn onjuiste conclusie blijft van groot belang. Het exacte mechanisme dat hij gebruikte om de paradox te identificeren, het één-op-één koppelen van items, werd uiteindelijk de basis van de moderne verzamelingenleer. Twee en een halve eeuw later keek de wiskundige Georg Cantor3 naar de exacte koppelingsoefening van Galileo en realiseerde zich dat dit helemaal geen paradox is, maar de bepalende eigenschap van oneindige verzamelingen.
1 Galileo Galilei (1564-1642) was een Italiaans natuurkundige, astronoom, wiskundige en filosoof. Hij was hoogleraar in Pisa (1589-1592) en Padua (1592-1610). In het Nederlands, het Duits en in de Scandinavische talen wordt hij meestal aangeduid als Galilei, in het Frans als Galilée. In de meeste andere Europese talen wordt hij bij zijn voornaam Galileo genoemd. Hij legde de grondslagen voor de experimentele natuurkunde en de dynamica van Isaac Newton. Bovendien stond hij aan de wieg van de moderne astronomie. Hij ontdekte onder meer de vier grote manen van Jupiter (die ook wel de Galileïsche manen worden genoemd), de schijngestalten van Venus en hij zag als eerste zonnevlekken. Galileï doet nog meer belangrijke, uiteenlopende ontdekkingen in zowel de zuivere als toegepaste wetenschap en komt met vernieuwende natuurkundige theorieën. Zo leert hij zijn studenten bijvoorbeeld dat de valversnelling onafhankelijk is van de massa, in tegenstelling tot waar Aristoteles in geloofde. Het verhaal dat hij dit zou hebben ontdekt door stalen kogels van de toren van Pisa te laten vallen, is overigens inmiddels ontmaskerd als een fabel.
Galilei aarzelde soms om een ontdekking te publiceren. Hij liep het risico niet serieus genomen te worden als naderhand bleek dat hij het verkeerd had gezien. Aan de andere kant wilde hij niet het risico lopen dat een andere ontdekker er eerder mee zou komen. Daarom publiceerde hij zijn ontdekkingen als anagram, door de letters van een zin door elkaar te gooien. Hij kon dan achteraf, door de oplossing van het anagram te geven, aantonen dat hij de eerste ontdekker was.
De astronoom Johannes Kepler trachtte de anagrammen op te lossen. Opmerkelijk is dat hij twee keer een onjuiste oplossing vond en dus onjuist concludeerde wat Galilei gezien had. Beide keren beschreef de onjuiste oplossing echter iets wat werkelijk bestond, maar pas later werd ontdekt.
Galileï weet, na zijn astrnomische ontdekkingen, nu zeker wat hij eerder al vermoedde: onze planeet draait om de zon en niet andersom. Dat vermoeden blijkt uit een brief uit 1597 aan de Duitse sterrenkundige Johannes Kepler, waarin hij schrijft: ‘De leer van Copernicus lijkt mij meer aannemelijk dan die van Aristoteles’. De leer van Copernicus is het heliocentrisme zoals beschreven in zijn manuscript De revolutionibus orbium coelestium (Over de omlopen van de hemellichamen) uit 1530. Het heliocentrische wereldbeeld staat lijnrecht tegenover het toen gangbare Aristotelische idee van het geocentrisme, dat ook werd beschreven door Plato en Ptolemaus: de aarde is het onbewogen middelpunt van het universum. Belangrijker nog was dat dit idee ook als uitgangspunt gold voor de almachtige Rooms-Katholieke kerk en die is ‘not amused’. In 1616 wordt hij door de Inquisitie veroordeeld voor ketterij en geloofsdwaling. Hij wordt gedwongen afstand te doen van zijn ontdekkingen en hij mag het Copernicaanse model niet meer propageren. Galileï lapt het verbod aan zijn laars als hij in 1632 in Florence zijn Dialogo publiceert, een boek waarin duidelijk het heliocentrische wereldbeeld in gespreksvorm wordt verdedigd. In oktober van dat jaar moet hij weer voor de kerkelijke rechtbank in Rome verschijnen. Deze veroordeelt Galileï tot levenslang huisarrest en dwingt hem zijn leer voorgoed af te zweren. Galileï, 69 jaar oud, schijnt bij het aanhoren van zijn vonnis te hebben uitgeroepen: ‘Eppur si muove’, (en toch beweegt zij (de aarde om de zon)).
2 “Gesprekken en wiskundige bewijzen in twee nieuwe wetenschappen“, is een natuurkundig werk dat een forse stap zette op de weg naar de klassieke mechanica van Christiaan Huygens en Isaac Newton. Galilei schreef het onder huisarrest, deels in het Italiaans en deels in het Latijn, en liet het naar de uitgever Lodewijk Elsevier smokkelen, die het in 1638 drukte te Leiden. In een eerdere werk, waarin hij drie personages opvoerde die het geocentrische en het heliocentrische systeem bespraken, was verboden door de Romeinse inquisitie, naast andere maatregelen. Hij woonde in zijn villa in Arcetri onder huisarrest en mocht feitelijk niet meer publiceren. Bovendien was hij blind aan het worden. Niettemin zette hij zich aan een laatste werk, dat een systematisch overzicht moest bieden van zijn experimenten en bevindingen van de voorbije dertig jaar. Door tussenkomst van Elia Diodati vond hij in Lodewijk Elsevier een Nederlandse uitgever die zich weinig gelegen hoefde te laten liggen aan de inquisitie en die hem in mei 1636 kwam opzoeken in Arcetri. Het boek verscheen in juni 1638 en werd door Galilei opgedragen aan zijn beschermer François de Noailles (1519-1585). De grote wetenschapper was toen 74 jaar en had nog vier jaar te leven.
3 Oneindigheid heeft mensen door de eeuwen heen immens gefascineerd.
Het is de grote verdienste van Georg Cantor (1845–1918) geweest om het begrip oneindigheid wiskundig binnen bereik te brengen. Hij deed dit met behulp van de door hem ontwikkelde theorie van (oneindige) verzamelingen. Opmerkelijke, misschien zelfs contra-intuïtieve resultaten vloeiden hieruit voort, zoals zijn constatering dat er verschillende graden van oneindigheid zijn. Cantors werk werd in zijn tijd bepaald niet door alle collega’s gewaardeerd. Daarvoor trad hij teveel buiten de toen gangbare wiskundige paden. Pas later in zijn leven werd de verdienste van zijn inzichten begrepen. De beroemde wiskundige David Hilbert merkte op dat “Cantor ons een paradijs heeft binnengebracht waaruit niemand ons meer zal verjagen“.