In 1638 ontdekte Galilei (1564-1642) een paradox die zijn intuïtie op de proef stelde: er zijn precies evenveel perfecte kwadraten als gehele getallen, hoewel de meeste gehele getallen geen kwadraten zijn. Zijn paradoxale redenering veranderde wiskunde.
Twee oneindige verzamelingen
In zijn laatste boek, Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze (“Gesprekken en wiskundige bewijzen in twee nieuwe wetenschappen”, een natuurkundig werk dat een forse stap zette op de weg naar de klassieke mechanica van Christiaan Huygens en Isaac Newton. Hij schreef het onder huisarrest, deels in het Italiaans en deels in het Latijn, en liet het naar de uitgever Lodewijk Elsevier smokkelen, die het in 1638 drukte te Leiden), stelde Galileo een gedachte-experiment voor over oneindige verzamelingen.
Hij evalueerde twee groepen getallen. De eerste bevatte alle positieve gehele getallen: 1, 2, 3, 4, 5, enzovoort. De tweede bevatte alleen de perfecte kwadraten: 1, 4, 9, 16, 25, en dus, benadrukte Galileo, twee logisch verantwoorde maar volledig incompatibele waarnemingen.
Want: perfecte kwadraten zijn relatief zeldzaam. De meeste gehele getallen 2, 3, 5, 6, 7 en 8 zijn geen kwadraten. Naarmate getallen groter worden, worden de gaten tussen kwadraten aanzienlijk groter. Omdat de kwadraten dus slechts een kleine deelverzameling zijn van de gehele getallen, moet de verzameling van alle gehele getallen veel groter zijn dan de verzameling kwadraten. Maar, elk geheel getal kan worden gekwadrateerd om precies één perfect kwadraat te produceren, en elk perfect kwadraat heeft precies één geheel getal als positieve vierkantswortel. Je kunt ze dus perfect koppelen: 1 met 1, 2 met 4, 3 met 9 enzovoorts, zonder ooit op te raken. De groepen werken perfect samen, daarom moeten de twee verzamelingen precies even groot zijn, terwijl de een een deelverzameling van de ander is, en dat is met elkaar in tegenspraak.
Wel/Niet even groot?
Geconfronteerd met deze paradox concludeerde Galileo dat de begrippen “minder dan“, “gelijk aan” en “groter dan” alleen kunnen worden toegepast op eindige groepen. Hij stelde dat een oneindige grootheid een absolutie is die niet kan worden vergeleken met een andere oneindige grootheid, en concludeerde dat de menselijke geest eenvoudigweg niet kon rekenen met oneindigheid.
Galileo had het mis, maar zijn onjuiste conclusie blijft van groot belang. Het exacte mechanisme dat hij gebruikte om de paradox te identificeren, het één-op-één koppelen van items, werd uiteindelijk de basis van de moderne verzamelingenleer. Twee en een halve eeuw later keek de wiskundige Georg Cantor naar de exacte koppelingsoefening van Galileo en realiseerde zich dat dit helemaal geen paradox is, maar de bepalende eigenschap van oneindige verzamelingen.