Het drielichamenprobleem1 is zo ingewikkeld dat het Isaac Newton ernstige hoofdpijn en slapeloosheid bezorgde.
Twee eeuwen later won een wiskundige een koninklijke prijs voor de oplossing, door te bewijzen dat er geen oplossing mogelijk was.
Kepler en Newton
Om het drielichamenprobleem te begrijpen, moet je eerst het tweelichamen-probleem2 door hebben. Als je twee objecten in de ruimte hebt, zoals de aarde en de zon, is hun zwaartekrachtdans eenvoudig en voorspelbaar. Ze bewegen in elegante ellipsen, zoals Johannes Kepler3 aantoonde. Je kunt een eenvoudige wiskundige formule opschrijven om te voorspellen waar ze zich op elk moment in de toekomst zullen bevinden. En dat deed Isaac Newton.
Maar op het moment dat je een derde object toevoegt, zoals in dit geval de maan, schiet de wiskunde tekort. Alle drie de lichamen trekken tegelijkertijd aan elkaar waardoor de afstanden, en dus de krachten, tussen hen voortdurend veranderen. Dit creëert een verward, niet-herhalend, web van orbitale paden.
Het probleem werd voor het eerst geïdentificeerd in 1687, toen Newton probeerde het aarde-, maan- en zonnestelsel in zijn Principia te modelleren. Maar hij kon geen zuivere wiskundige formule vinden en klaagde later bij zijn vriend Edmond Halley dat de puzzel hem hoofdpijn gaf en hem herhaaldelijk wakker hield.
Euler, Lagrange en Poincaré
De volgende twee eeuwen probeerden Europa’s meest briljante wiskundigen, waaronder Leonhard Euler en Joseph-Louis Lagrange, een oplossing te vinden, maar slaagden niet.
In 1889 stelde koning Oscar II van Zweden een prijs beschikbaar voor de eerste die eindelijk de vergelijking kon kraken. De prijs werd gewonnen door de Franse wiskundige Henri Poincaré4, die precies aantoonde waarom iedereen had gefaald:
Er bestaat geen algemene, eenvoudige oplossing.
Poincaré ontdekte dat het drielichamensysteem chaotisch is. Zelfs de kleinste verandering in de startposities of snelheden van de lichamen, al was het maar een fractie van een millimeter, verandert later hun pad volledig.
Dit besef bracht de moderne chaos theorie5 en het vlindereffect6 voort.
Tegenwoordig, omdat er geen eenvoudige formule bestaat, lossen natuurkundigen het probleem praktisch op met behulp van numerieke integratie.
1 Het drielichamenprobleem is een vraagstuk van de hemelmechanica dat bij gegeven beginplaatsen en beginsnelheden van drie hemellichamen (bijvoorbeeld zon, aarde en maan) vraagt om hun banen te bepalen.
2 De wiskundige formulering van het tweelichamenprobleem is eenvoudig. Men heeft van de ene kant de tweede bewegingswet van Newton:
met F de kracht, m de massa en a de versnelling, en van de andere kant de gravitatiewet van Newton:
met m1 en m2 de aantrekkende en aangetrokken massa’s, r hun afstand en G de gravitatieconstante.
3 Johannes Kepler of Keppler (1571–1630) was een Duitse astronoom, astroloog, wis- en natuurkundige, in dienst van keizer Rudolf II, die vooral bekend werd door zijn vernieuwing van de hemelmechanica: hij berekende de planeetbewegingen en formuleerde daarover de Wetten van Kepler. Het basiswerk om tot deze inzichten te komen was verricht door zijn leermeester Tycho Brahe. Later zou Isaac Newton deze ontdekkingen door zijn algemene wet van de zwaartekracht natuurkundig verklaren.
4 Jules Henri Poincaré (1854-1912) was een Franse wiskundige, die als een van de grootsten uit het land wordt beschouwd. Hij was bovendien wetenschapsfilosoof. Poincaré wordt vaak beschreven als de laatste van de ‘universalisten’, in staat om vrijwel alle gebieden van de wiskunde te begrijpen en eraan bij te dragen.
5 De chaostheorie is de populaire benaming voor het gebied binnen de wiskunde dat het gedrag van niet-lineaire dynamische systemen (Engels: Dynamical systems of systeemtheorie) onderzoekt. De officiële naam binnen de wiskunde is dynamische systemen. Deterministische chaos betekent dat de schijnbare wanorde toch exact bepaald is en geordend tot stand komt volgens een algoritme of rekenregel zoals een differentiaalvergelijking of een recursie. Tot de praktische toepassingen van de chaostheorie behoort het onderzoek naar de stabiliteit van niet-lineaire systemen.
6 Vlindereffect: Edward Lorenz toonde al in de jaren 1950 aan dat gekoppelde differentiaal-vergelijkingen instabiel kunnen zijn. Dat betekent dat fouten in de numerieke berekening in de tijd steeds groter worden. Als de temperatuur bijvoorbeeld vandaag 0,1 °C verkeerd wordt gemeten, is de afwijking van de weersvoorspelling voor morgen al 0,5 °C. Over een week zitten we er 3,1 °C naast en voor twee weken is geen zinvolle voorspelling meer te doen.
Anekdotisch zegt men daarom wel dat de vleugelslag van een vlinder in China de doorslag kan geven tussen mooi weer of een orkaan in Texas.