Mary Fairfax Somerville werd geboren op 26 december 1780 in Jedburgh Schotland, als dochter van Margaret Charters en luitenant William George Fairfax, een viceadmiraal bij de Britse marine. Omdat haar vader lange tijd vaak op zee was en haar moeder weinig beperkingen op haar uitoefende, behalve dat ze erop stond dat ze de Bijbel leerde lezen en haar gebeden uitsprak, mocht Maria, in haar eigen woorden, “als een wilde opgroeien“.

Ondanks de gelukkige economische status van het gezin was Mary’s opleiding, zoals kenmerkend was voor een groot deel van het onderwijs aan jonge meisjes van haar tijd, tamelijk “schaars en lukraak“. Haar enige jaar voltijds onderwijs, waarin ze naar een kostschool voor meisjes in Musselburgh ging, vond ze nogal ellendig en ongelukkig.
Mary kreeg haar eerste lessen in eenvoudige rekenkunde op dertienjarige leeftijd, toen haar moeder voor de wintermaanden een kleine flat in Edinburgh nam. Ook rond deze tijd begon ze, geheel per ongeluk, haar studie algebra. Dat kwam omdat ze enkele mysterieuze symbolen tegenkwam in de puzzels van een modetijdschrift. Ze kon de docent van haar broer overtuigen om wat elementaire literatuur over dit onderwerp voor haar te kopen.

In 1804, op vierentwintigjarige leeftijd, trouwde Mary met haar neef, kapitein Samuel Greig. Greig was lid van de Russische marine en had weinig interesse in de wiskunde en wetenschappen waar zijn vrouw zo veel van hield. Hoewel hij intellectuele vrouwen nogal laag in aanzien had, bemoeide hij zich weinig met haar werk. Het echtpaar kreeg twee zonen, Woronzow (1805-1865) en William George (1806-1814), maar vader Samuel maakte niet veel van de levens van zijn kinderen mee, want hij stierf in 1807 na slechts drie jaar huwelijk.

De dood van haar man, hoewel moeilijk en tragisch, bood Mary echter een kans die vrij zeldzaam was voor vrouwen uit haar tijd. Ze ontdekte dat het weduwschap en een comfortabele erfenis haar zowel emotioneel, als financieel onafhankelijk hadden gemaakt. Mary werd niet langer gecontroleerd door haar ouders of door haar echtgenoot en was vrij om te studeren volgens haar eigen overtuigingen.
Ze bestudeerde de astronomie van James Ferguson en Isaac Newtons Principia, ondanks het feit dat veel van haar familie en vrienden het afkeurden. Haar vriendenkring in de wetenschappelijke gemeenschap was beperkt, maar ze correspondeerde regelmatig met de Schot William Wallace, die destijds wiskundemeester was aan een militaire universiteit. Het was op zijn advies dat Mary een kleine bibliotheek met werken kreeg om haar een goede ondergrond in de wiskunde te bieden.

Ze hertrouwde in 1812 met een andere neef, Dr. William Somerville, die chirurg was bij de Britse marine. Dr. Somerville steunde de intellectuele inspanningen van zijn vrouw zeer, ondanks het feit dat een deel van zijn familie wenste dat Mary “haar dwaze manier van doen zou opgeven en een respectabele en nuttige vrouw zou worden“. Het echtpaar kreeg samen vier kinderen.

Het wetenschappelijke onderzoek van Mary Fairfax Somerville begon in de zomer van 1825, toen ze experimenten met magnetisme uitvoerde. In 1826 presenteerde ze haar artikel getiteld “The Magnetic Properties of the Violet Rays of the Solar Spectrum” aan de Royal Society. Het artikel kreeg lovende kritieken en, afgezien van de astronomische waarnemingen van Caroline Herschel, was het eerste artikel van een vrouw dat werd voorgelezen aan de Royal Society en gepubliceerd in de Philosophical Transactions. Hoewel de theorie die in haar artikel wordt gepresenteerd uiteindelijk zou worden weerlegd door de onderzoeken van anderen, onderscheidde zij zich als een bekwaam wetenschappelijk schrijver die onder haar collega’s werd gerespecteerd. Ze ondertekende de onsuccesvolle petitie van John Stuart Mill voor vrouwenstemrecht.

In 1827 begon Lord Brougham, namens de Society for the Diffusion of Useful Knowledge, via haar man te corresponderen met Mary, zoals de sociale conventie voorschreef. Hij wilde haar ervan te overtuigen om een gepopulariseerde vertolking van Laplace’s Mecanique Céleste en Newton’s Principia te schrijven. Hij hoopte dat ze een groter publiek kon bereiken door de concepten duidelijk over te brengen door middel van eenvoudige illustraties en experimenten die de meeste mensen konden begrijpen.
Omdat ze niet zeker was van haar kwalificaties, ondernam Mary het project in het geheim en verzekerde ze dat, als ze zou falen, het manuscript zou worden vernietigd en dat alleen de onmiddellijk betrokkenen het ooit zouden komen te weten.
Het Mechanisme van de Hemelen was een groot succes, waarschijnlijk het beroemdste van haar wiskundige geschriften.
Als erkenning werd in opdracht van haar bewonderaars in de Royal Society een portretbuste van haar gemaakt en in hun grote zaal geplaatst. Het is nu te bewonderen in het hoofdkantoor van de vereniging in Londen.

Terwijl ze in 1832-1833 elf maanden in Europa was, voltooide ze grotendeels haar tweede boek, dat in 1834 werd gepubliceerd. Met De verbinding van de natuurwetenschappen, wat een verslag was van fysische verschijnselen en de verbanden tussen de natuurwetenschappen, kwamen nieuwe wetenschappelijke verschillen. Zij en Caroline Herschel¹ werden in 1835 verkozen tot lid van de Royal Astronomical Society, de eerste vrouwen die een dergelijke eer ontvingen. Ze kreeg een pensioen van 200 pond per jaar van de koning van Engeland en ontving erelidmaatschappen van verschillende andere vooraanstaande wetenschappelijke organisaties, waaronder elf Italiaanse.
Haar discussie van een mogelijke planeet die de baan van Uranus verstoorde in de zesde editie van het boek On the Connection of the Physical Sciences (1842), leidde ertoe dat John Couch Adams de zoektocht naar deze planeet begon en Neptunus ontdekte.

In 1848, op achtenzestigjarige leeftijd, publiceerde Mary Fairfax Somerville nog een boek. Fysische Geografie, een werk waartegen werd gepredikt in de kathedraal van York. Het werd haar meest succesvolle boek tot nu toe en werd nog vijftig jaar veel gebruikt op scholen en universiteiten.

Met de dood van haar tweede echtgenoot, de enige overgebleven zoon en gewaardeerde vriend Sir John Herschel, schreef Mary Fairfax Somerville in 1871: “Weinig van mijn vroege vrienden blijven nu – ik word bijna alleen gelaten“. Ze leefde om nog twee werken te voltooien vóór haar dood in Napels in 1872. Haar laatste wetenschappelijke boek, Moleculaire en microscopische wetenschap, dat in 1869, toen Mary negenentachtig was, werd gepubliceerd, was een samenvatting van de meest recente ontdekkingen in de scheikunde en natuurkunde. In datzelfde jaar voltooide ze haar autobiografie, waarvan delen na haar dood door haar dochter Martha werden gepubliceerd. Hoewel ze in haar latere jaren doof en zwak was, behield ze haar mentale vermogens en bleef ze, in haar woorden, zelfs tot ‘vier of vijf uur ’s ochtends boeken lezen over de hogere algebra, en zelfs problemen oplossen‘ tot aan haar vreedzame dood in Napels toen ze tweeënnegentig was.

¹ Caroline Lucretia Herschel (1750–1848) was een Duits/Engels astronoom en zangeres. Zij werd bekend door de astronomische waarnemingen die zij – deels samen met haar broer William Herschel – deed en ontdekte kometen en nevels. Doordat ze in haar jeugd tyfus had gekregen en ten gevolge daarvan een groeistoornis opliep, bleef ze klein. Bovendien was ze getekend door de pokken. Omdat er in het gezin van tien kinderen met vele meisjes voor haar ook geen bruidsschat beschikbaar was, bleef ze ongehuwd. Ze bleek geen talent te hebben voor gebruikelijke vrouwelijke bezigheden. Door haar broer Wilhelm/William, die tijdens de Zevenjarige Oorlog voor de Fransen naar Engeland was gevlucht, werd ze in 1772 naar Engeland gehaald. Ze deed het huishouden voor William, zong in het koor en kopieerde bladmuziek. Ze nam zanglessen en behaalde vele successen als sopraan. In 1782 gaf ze haar zangcarrière op en werd voltijds astronomisch assistent van haar broer. In 1787 kreeg ze als assistent van haar broer een jaarsalaris van koning George III, waarmee ze de eerste vrouw werd met een betaalde wetenschappelijke baan. Na de dood van haar broer in 1822 verhuisde ze weer naar Duitsland, waar ze haar astronomisch werk voortzette. Daarmee schudde zij het vooroordeel van zich af dat ze slechts een assistente was van haar beroemde broer en kreeg ze veel erkenning.

Het bericht Mary Fairfax Somerville verscheen eerst op HEESEN Online.

Zijn tijdgenoten als Albert Einstein leunden sterk op visuele gedachte-experimenten; bijvoorbeeld het rijden op een lichtstraal. Niels Bohr verankerde zijn werk in filosofische principes, Dirac benaderde de natuurkunde vrijwel geheel door de lens van de zuivere wiskundige esthetica.

Zijn leidende filosofie was eenvoudig: ‘Een natuurkundige wet moet wiskundige schoonheid bezitten’. Deze overtuiging maakte hem uniek onder de grondleggers van de kwantummechanica. Toen Werner Heisenberg de matrixmechanica formuleerde, wist hij aanvankelijk niet eens wat een matrix was; hij moest het van zijn mentor Max Born horen. Dirac daarentegen sprak natuurlijk de taal van de geavanceerde wiskunde, en vond vaak nieuwe wiskundige hulpmiddelen uit als de bestaande tekort schoten.

Het meest diepgaande voorbeeld van zijn aanpak kwam in 1928, toen hij de kwantummechanica probeerde te verzoenen met Einsteins speciale relativiteitstheorie. Het probleem was dat bestaande relativistische vergelijkingen wiskundige inconsistenties opleverden, zoals negatieve waarschijnlijkheden. Om dit op te lossen eiste Dirac een vergelijking die strikt van de eerste orde was, zowel in ruimte als in tijd. Door pure wiskundige deductie realiseerde hij zich dat hiervoor een nieuw type, uit meerdere componenten bestaand, object nodig was, een spin genaamd, resulterend in de beroemde Dirac-vergelijking.

Maar de wiskunde gooide een curveball. De vergelijking bevatte twee sets oplossingen: één voor positieve energie, die het elektron beschreef, en één voor negatieve energie. wat fysiek onmogelijk leek. Hoewel de meeste natuurkundigen de negatieve oplossingen als een wiskundige mogelijkheid zouden verwerpen, vertrouwde Dirac impliciet op zijn vergelijkingen. Hij voerde aan dat de negatieve energietoestanden een geheel nieuwe, onzichtbare tegenhanger van het elektron met een positieve lading vertegenwoordigden. Vier jaar later ontdekte Carl Anderson het positron in kosmische straling, waarmee Dirac gelijk kreeg.

¹ Paul Adrien Maurice Dirac (1902–1984) was een Brits theoretisch natuurkundige en een van de pioniers van de kwantummechanica. In 1928 leidde hij het bestaan af van antimaterie.
Hij studeerde elektrotechniek aan de Universiteit van Bristol en studeerde af in 1921. Hij kon geen werk vinden als ingenieur, maar kon via een verkorte opleiding wiskunde studeren in Bristol. Hij haalde zijn diploma in de wiskunde in Bristol in 1923 en kreeg toelating om onderzoek te doen aan het St John’s College te Cambridge, waar hij het overgrote deel van zijn carrière zou blijven. Aan de Universiteit van Cambridge raakte hij geïnteresseerd in de algemene relativiteitstheorie en in de kwantum-mechanica. In 1926 ontwikkelde hij een versie van de kwantummechanica die het werk van Werner Heisenberg over de  matrixmechanica en dat van Erwin Schrödinger over de golfmechanica met elkaar verenigde in een enkel mathematisch formalisme dat de toestand van een fysisch systeem beschrijft. Hiervoor kreeg hij de titel Ph.D. (doctor) van Cambridge. Dirac was een zeer rustige man. Zozeer zelfs dat zijn collega’s in Cambridge gekscherend een spraakeenheid definieerden genaamd de “dirac“, wat één woord per uur betekende! Dirac legde ook uit waarom hij zo weinig sprak: “Er zijn altijd meer mensen bereid om te spreken dan om te luisteren.” In 1928 publiceerde hij de Dirac-vergelijking, gebaseerd op het werk van Wolfgang Pauli over het niet-relativistische elektron met spin. Deze relativistische vergelijking beschrijft het elektron. Dit werk leidde tot Diracs voorspelling van het bestaan van het positron, het antideeltje van het elektron, dat hij interpreteerde als een gat in wat uiteindelijk de “Diraczee” zou worden genoemd; de oneindig diepe zee van elektronen met negatieve energie die het universum zou vullen en die ervoor zou zorgen dat de elektronen met positieve energie niet al hun energie zouden uitstralen, oneindig negatieve energie zouden krijgen en zo het einde van het universum zouden inluiden.
Paul Dirac deelde een Nobelprijs natuurkunde in 1933 met Erwin Schrödinger “voor de ontdekking van een nieuwe productieve vorm van atoomtheorie”.

Het bericht Paul Dirac verscheen eerst op HEESEN Online.

Probeer het maar, je zult versteld staan.

• Selecteer een willekeurig getal
• Als het getal oneven is, vermenigvuldig dan met 3 en tel er 1 bij op
• Als het getal even is, deel dan door 2
• Herhaal het proces met de uitkomst
• Ongeacht het geselecteerde getal, uiteindelijk is de uitkomst 1 (na voortdurende herhaling van het proces).

Laten we het proberen voor het willekeurig gekozen getal 12.

12 is even; daarom delen we door 2 om 6 te krijgen.
6 is even; dus delen we door 2 om 3 te krijgen.
3 is oneven; dus we vermenigvuldigen met 3 en tellen 1 op om 3*3+1=10 te krijgen.
10 is even; dus delen we door 2 om 5 te krijgen.
5 is oneven; dus we vermenigvuldigen met 3 en tellen 1 op om 16 te krijgen.
16 is even; dus delen we door 2 om 8 te krijgen.
8 is even; dus delen we door 2 om 4 te krijgen.
4 is even; dus delen we door 2 om 2 te krijgen.
2 is even; dus delen we door 2 om 1 te krijgen.

Quad erat demonstrandum

Er wordt aangenomen dat, ongeacht met welk getal we beginnen, we uiteindelijk op 1 komen. Probeer het voor een aantal andere cijfers om jezelf ervan te overtuigen dat het echt werkt. Als we waren begonnen met willekeurig gekozen nummer 17, hadden we 12 stappen nodig gehad om 1 te bereiken en voor 43 zouden we 29 stappen ondernemen.

Of dit werkt voor alle getallen is een vraag die wiskundigen al vele jaren bezighoudt en tot op heden is er geen antwoord gevonden.
Recentelijk (met behulp van een computer) is wel aangetoond dat dit probleem waar is voor alle getallen tot 10¹⁸–1.

Maar…

Is in dit verhaal het vermenigvuldigen met 3 wel echt nodig, vroeg ik mij af. Laat ik hetzelfde voorbeeld hanteren, dus met 12.

12 is even; daarom delen we door 2 om 6 te krijgen.
6 is even; dus delen we door 2 om 3 te krijgen.
3 is oneven; dus we tellen 1 op om 4 te krijgen.
4 is even; dus delen we door 2 om 2 te krijgen.
2 is even; dus delen we door 2 om 1 te krijgen.

Dat zijn ook nog eens minder stappen!

En dan met 17?

17 is oneven; dus we tellen 1 op om 18 te krijgen.
18 is even; dus delen we door 2 om 9 te krijgen.
9 is oneven; dus we tellen 1 op om 10 te krijgen.
10 is even; dus delen we door 2 om 5 te krijgen.
5 is oneven; dus we tellen 1 op om 6 te krijgen.
6 is even; dus delen we door 2 om 3 te krijgen.
3 is oneven; dus we tellen 1 op om 4 te krijgen.
4 is even; dus delen we door 2 om 2 te krijgen.
2 is even; dus delen we door 2 om 1 te krijgen.

En tenslotte met 43?

43 is oneven; dus we tellen 1 op om 44 te krijgen.
44 is even; dus delen we door 2 om 22 te krijgen.
22 is even; dus delen we door 2 om 11 te krijgen.
11 is oneven; dus we tellen 1 op om 12 te krijgen.
12 is even, dus delen we door 2 om 6 te krijgen.
6 is even; dus delen we door 2 om 3 te krijgen.
3 is oneven; dus we tellen 1 op om 4 te krijgen.
4 is even; dus delen we door 2 om 2 te krijgen.
2 is even; dus delen we door 2 om 1 te krijgen.

Allemaal met (veel) minder stappen, maar met hetzelfde resultaat?!

We zijn voor de gek gehouden; de stap “delen door 2” eindigt altijd op 1!

Meer wiskundig zou het vinden van een formule zijn die voorspelt, vanuit een willekeurig getal, hoeveel stappen er nodig zijn om op 1 uit te komen. Dus:

We hebben een natuurlijk getal N¹ en het proces: indien N is even deel N door 2 en indien N is oneven tel er een bij op (N + 1) en deel dan door 2. Hoeveel iteraties zijn er nodig voordat de uitkomst 1 is?

Wie?

¹ Een natuurlijk getal is een getal dat het resultaat is van een telling van een eindig aantal dingen, dus een van de getallen

De verzameling natuurlijke getallen wordt aangegeven met het symbool N. Er is geen overeenstemming of het getal 0 bij de natuurlijke getallen hoort. In de traditionele definitie beginnen de natuurlijke getallen bij 1 – van daaraf begint men immers te tellen. Vanaf de negentiende eeuw ziet men de definitie opduiken die 0 wel tot de natuurlijke getallen rekent. In de wiskunde wordt tegenwoordig vrij algemeen het getal 0 tot de natuurlijke getallen gerekend. 

Het bericht Wiskunde truc? verscheen eerst op HEESEN Online.

De eerste

De eerste vond plaats in mei 1905 in Bern. Na jarenlang te hebben geworsteld met de tegenstelling tussen de Newtoniaanse mechanica en de constante lichtsnelheid, bracht Einstein een middag door met debatteren over het dilemma met zijn vriend Michele Besso¹. Omdat hij geen antwoord kon vinden, gaf Einstein het op en ging naar huis.
De volgende ochtend trof de oplossing hem: de tijd is niet absoluut, en gelijktijdig-heid hangt volledig af van de beweging van de waarnemer. Hij haastte zich terug naar Besso’s huis en flapte eruit: ‘Bedankt! Ik heb het probleem volledig opgelost.” Binnen vijf weken voltooide hij zijn speciale relativiteitsartikel. Diezelfde maand bestempelde Einstein, in een brief aan zijn vriend Conrad Habicht², zijn artikel waarin hij lichte quanta voorstelde, als “zeer revolutionair“

De tweede

De tweede doorbraak kwam twee jaar later, in november 1907. Terwijl hij dag-droomde in zijn stoel bij het Zwitserse octrooibureau, vroeg Einstein zich af wat er met de zwaartekracht zou gebeuren in zijn nieuwe relativistische raamwerk. Zoals hij later beschreef in een lezing uit 1920, deed een plotselinge gedachte hem schrikken: als een persoon vrij valt, dan voelt hij zijn eigen gewicht niet. Einstein noemde dit “de gelukkigste gedachte van mijn leven” Het werd het gelijkwaardigheidsprincipe, ofwel het besef dat zwaartekracht en versnelling fysiek niet van elkaar te onderscheiden zijn. Deze gedachte vormde de conceptuele brug van de speciale naar de algemene relativiteitstheorie.

De derde

De derde en meest diepgewortelde realisatie kwam in november 1915.
Acht jaar lang had Einstein zich door kronkelige differentiaalmeetkunde geworsteld om het gelijkwaardigheidsprincipe om te zetten in veldvergelijkingen. Hij werkte in Berlijn te midden van hevige concurrentie van wiskundige David Hilbert³. Hij testte zijn nieuwste vergelijkingen op de afwijkende precessie van Mercurius’ perihelion, een astronomische afwijking van 43 boogseconden per eeuw. Dit was een afwijking die de wetten van Newton niet konden verklaren. Toen zijn berekening de exacte 43 boogseconden opleverde, ervoer Einstein hartkloppingen en schreef aan Paul Ehrenfest⁴ dat hij buiten zichzelf was van vreugde. Op dat moment bevestigde de natuur zijn theorie, nog voordat een telescoop dat deed.

¹ Michele Angelo Besso (1873–1955) was een Zwitsers-Italiaanse ingenieur die nauw samenwerkte met Albert Einstein.
Einstein noemde Besso “het beste klankbord van Europa” voor wetenschappelijke ideeën. In Einsteins oorspronkelijke artikel over de speciale relativiteitstheorie sloot hij het artikel af met de woorden: “Laat ik tot slot opmerken dat mijn vriend en collega M. Besso mij standvastig bijstond in mijn werk over het hier besproken probleem, en dat ik hem veel dank verschuldigd voor een waardevolle suggestie.” Besso stierf in Genève, 81 jaar oud. In een condoleancebrief aan de familie Besso schreef Albert Einstein: ‘Nu is hij mij ook een beetje voorgegaan door afscheid te nemen van deze vreemde wereld. Dit betekent niets. Voor ons gelovige natuur-kundigen heeft het onderscheid tussen verleden, heden en toekomst alleen de betekenis van een illusie, ook al is deze hardnekkig.” Einstein stierf een maand en drie dagen na zijn vriend, op 18 april 1955.

² Conrad Habicht (1876–1958) was een Zwitserse wiskundige en goede persoonlijke vriend van Albert Einstein. Samen met Maurice Solovine richtten de drie de Olympia Academie op, een informele vriendenkring die van 1902 tot 1904 in Bern bijeenkwam om natuurkunde en filosofie te bespreken. Habicht en Solovine waren de enige twee getuigen van Einsteins huwelijk met Mileva Maric in 1903. Habicht was de ontvanger van Einsteins brief uit 1905, waarin Einstein zijn Annus mirabilis beschreef.

³ David Hilbert (1862–1943) was een Duits wiskundige die wordt gerekend tot de invloedrijkste wiskundigen van de negentiende en begin twintigste eeuw. Alleen al zijn eigen ontdekkingen zouden hem deze eer geven, maar vooral zijn leiding-gevende rol in de wiskunde gedurende zijn leven en de door hem opgezette ‘kweekschool’ van jonge veelbelovende en later veelal zeer belangrijke wiskundigen, zijn wat hem onderscheidt. Hij was gedurende het grootste deel van zijn carrière hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit van Göttingen. Hilbert legde hier, in samenwerking met zijn beste leerlingen, veel van het wiskundige fundament voor de kwantummechanica, met name het concept van de Hilbertruimte. Verder legde hij met zijn studenten, zoals de latere schaakkampioen Emanuel Lasker en later beroemde wiskundigen en filosofen als Hermann Weyl, en John von Neumann  grotendeels de richting vast waarin de wiskunde van de 20e eeuw zich zou ontwikkelen. Hij is beroemd om zijn 23 problemen voor de twintigste eeuw, die hij opgaf tijdens een voordracht op het Internationaal Wiskundecongres van 1900. Minder bekend is dat Hilbert in 1915 op het spoor was van de principes van de algemene relativiteitstheorie maar dat, voordat hij zijn conclusies kon publiceren, Albert Einstein hem voor was. Hilbert was daar niet echt rouwig om en gunde Einstein zijn primeur. Later werkten ze zelfs samen om de wiskundige aspecten van deze theorie verder uit te werken.

⁴ Paul Ehrenfest (1880–1933) was een in  Oostenrijk geboren Nederlands natuur-kundige (genaturaliseerd in 1922). Zijn wetenschappelijk oeuvre bestaat vooral uit bijdragen aan de statistische mechanica en de kwantummechanica. Hij studeerde in Wenen bij Ludwig Boltzmann en vanaf 1901 in Göttingen, toen een belangrijk centrum voor wiskunde en theoretische natuurkunde. Daar ontmoette hij de Russische wiskundige Tatiana Afanassjewa. In het voorjaar van 1903 bracht hij een kort bezoek aan Leiden waar hij enkele colleges van Hendrik Lorentz bezocht. In 1912 kwam Ehrenfest te werken als opvolger van Hendrik Lorentz aan de Rijksuniversiteit Leiden. Daar heeft hij mede door zijn enthousiasme een grote school gevormd, waartoe onder meer de natuurkundigen Johannes Burgers, Hendrik Casimir, Dirk Coster, Samuel Goudsmit, Hendrik Kramers maar ook de natuurkundige en econoom Jan Tinbergen behoorden. Zijn leerlingen spraken bewonderend over hem als “oom Socrates”. Ehrenfest was bevriend met beroemde natuurkundigen als Albert Einstein, Niels Bohr en Heike Kamerlingh Onnes, die soms bij hem op bezoek kwamen. In 1919 werd hij benoemd tot lid van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW). De jonge natuurkundige Robert Oppenheimer verbleef in Leiden om met Ehrenfest te discussiëren, waartoe hij ook Nederlands leerde.

Het bericht Drie beslissende momenten verscheen eerst op HEESEN Online.

Van zijn tiende jaar af leerde hij zichzelf wiskunde. Volkomen geïsoleerd van de wiskundige wereld, leidde hij voor zichzelf 100 jaar westerse wiskunde af. Michio Kaku schrijft in zijn boek Hyperruimte dat de grote tragedie van zijn leven is geweest dat hij zoveel tijd heeft verspild aan het opnieuw ontdekken van bekende wiskunde. Hij slaagde voor geen enkel schoolexamen en kreeg een onbeduidend baantje in Madras. Van het karige loon kon hij zichzelf onderhouden en zich wijden aan zijn wiskundige passie.

In 1913 schreef hij brieven aan een drietal Engelse wiskundigen. Een van hen,  Godfrey Harold Hardy, erkende zijn groot wiskundig talent en haalde hem naar  Cambridge, waar hij een enorme hoeveelheid wiskundig werk produceerde.

Hardy’s verhaal van de ontdekking

Toen Hardy de brief opende, ontcijferde hij een onhandig schoolschrift. “Geachte heer,” luidde de aanhef. “Gaarne zou ik mij bij u willen introduceren als een klerk die werkt op de boekhouding van het Port Trust Office in Madras voor een jaarsalaris van 20 pond. Ik ben 23 jaar oud en heb geen universitaire opleiding genoten. In mijn vrije tijd heb ik mij bezig gehouden met wiskunde. Ik ben daarin mijn eigen weg gegaan. Ik verrichtte een speciaal onderzoek naar divergente series, en mijn resultaten waren volgens wiskundigen hier ‘verbazingwekkend’. Ik zou u willen verzoeken de bijgevoegde berekeningen na te gaan en – als er iets van waarde bij mocht zijn – ze gepubliceerd te krijgen. Omdat ik daarin geen ervaring heb, zou ik het zeer op prijs stellen als u mij daarover zoudt willen adviseren. Hoogachtend, S. Ramanujan.“

“Alweer zo’n gek, die denkt dat hij iets nieuws heeft uitgevonden,” dacht Hardy, en wilde de brief opzij leggen. Onwillekeurig echter dwaalde hij door de pagina’s met mathematische symbolen. Verrast nam hij kennis van de formules en de stellingen. Sommige brachten een lichte schok van herkenning teweeg, omdat hij zelf al tevergeefs had geprobeerd ze te bewijzen. Andere kon hij slechts met de grootste moeite thuisbrengen. “Als de schrijver van de brief een gek is, is hij in ieder geval een bijzondere gek,” beschreef Hardy later zijn gedachten. Hij besloot de berekeningen later nog eens te bekijken. Inmiddels was het tijd geworden voor zijn college. Toen Hardy na afloop van zijn werkzaamheden terugliep naar zijn kamers, kwam de inhoud van de brief hem weer voor de geest. Ongebruikelijke formules, plus enkele bekende, die echter in een nieuwe vorm waren gegoten. Het was een bonte mengel-moes. ’s Avonds, tijdens de maaltijd met de overige lectoren en professoren, toonde Hardy de brief aan iedereen die maar naar hem wilde luisteren. “Deze man is ofwel gek, ofwel een genie,” riep Hardy telkens uit, zwaaiend met de enveloppe. Dat wekte de belangstelling van John Littlewood, een collega-wiskundige. Beiden besloten de brief gezamenlijk door te nemen. Hardy en Littlewood trokken zich terug in de lege schaakkamer. Twee en een half uur later kwamen ze naar buiten met de uitslag. De schrijver was een genie! Hardy ging zich ogenblikkelijk beijveren om dit wiskunde-wonder naar Engeland te halen en schreef Ramanujan terug.
Ramanujan was diep ontroerd. “Ik heb in u een vriend gevonden die mijn werk waardeert,” antwoordde hij per kerende post. “Ga mijn resultaten na, en als die overeenkomen met de uwe, dan zult u zien dat er waarheid schuilt in mijn berekeningen. Om mijn hersenen op peil te houden heb ik echter voedsel nodig en dat is momenteel mijn grootste zorg. Een aanbevelingsbrief van u zou mij kunnen helpen aan een beurs van de universiteit of van de regering.”

Ramanujan had zijn leven lang een slechte gezondheid. Hij was een strikte  vegetariër en door de Eerste Wereldoorlog, die toen woedde, was in Engeland goed vegetarisch voedsel bijna niet te krijgen. In 1917 werd hij ernstig ziek en ten slotte in 1919 werd hem aangeraden naar India terug te keren. Hem was wel een beurs en hoogleraarschap aan de University of Madras in het vooruitzicht gesteld. Hij keerde verzwakt terug en kwijnde nog een jaar lang verder waarbij hij zich geheel aan zijn formules wijdde en stierf in 1920, slechts 32 jaar oud.
Toentertijd weet men zijn dood aan tuberculose maar naar tegenwoordig inzicht was het waarschijnlijker dat hij, vooral tijdens zijn Engelse periode, een uiteindelijk fataal tekort aan vitamine B12 had opgebouwd.

Toen Srinivasa Ramanujan op 32-jarige leeftijd stierf, liet hij bijna 3.900 complexe vergelijkingen en bijna geen bewijzen achter.
Een eeuw later decoderen wiskundigen zijn genialiteit nog steeds. Zijn werk werd voornamelijk vastgelegd in drie dikke notitieboekjes.

Deze notitieboekjes bevatten identiteiten die de getaltheorie, kettingbreuken en oneindige reeksen omvatten. Hij beweerde dat de hindoegodin Namagiri de formules aan hem had onthuld in zijn slaap, dus schreef hij eenvoudigweg de eindresultaten op toen hij wakker werd.

Ramanujans notitieboeken

Toen hij nog in India leefde, noteerde Ramanujan het grootste deel van zijn resultaten in vier notitieboeken van losbladige vellen. Deze resultaten werden meestal opgeschreven zonder enige afleiding. Dit is waarschijnlijk de oorsprong van de misvatting dat Ramanujan niet in staat zou zijn geweest om zijn resultaten te bewijzen en zijn uiteindelijke resultaten als een soort ingeving kreeg.

De wiskundige Bruce C. Berndt zegt in zijn bespreking van deze notitieboeken en Ramanujans werk, dat Ramanujan zeer zeker in staat was om de meeste van zijn resultaten ook zelf te bewijzen, maar er in zijn notitieboeken voor heeft gekozen dit niet te doen. Deze stijl van werken kan verschillende redenen hebben gehad. Aangezien papier erg duur was zou Ramanujan het grootste deel van zijn werk en misschien ook zijn bewijzen op een lei hebben uitgevoerd, om daarna alleen de resultaten over te nemen op papier.

Gebruik maken van een lei was in Ramanajuans tijd zeer gebruikelijk voor wiskundestudenten in India. Ramanujan is zeer waarschijnlijk ook sterk beïnvloed door de stijl van G.S. Carrs boek (“Synopsis of Elemementary Results in Pure Mathematics“), waarin resultaten zonder bewijzen werden gemeld. Ten slotte is het mogelijk dat Ramanujan zijn werk alleen noteerde voor zijn persoonlijk belang en daarom alleen de resultaten opschreef.

Het eerste notitieboek bevatte 351 pagina’s met 16 enigszins georganiseerde hoofdstukken en wat ongeorganiseerd materiaal. Het tweede notitieboek had 256 pagina’s in 21 hoofdstukken en 100 pagina’s ongeorganiseerd materiaal, terwijl het derde notitieboek uit 33 ongeorganiseerde pagina’s bestond. De resultaten in deze notitieboeken hebben talloze artikelen van latere wiskundigen geïnspireerd om de resultaten te bewijzen die Ramanujan had gevonden. Hardy zelf schreef een aantal artikelen, waar hij het werk van Ramanujan verkende, net als G.N. Watson, B.M. Wilson en Bruce Berndt. Een vierde notitieboek met 87 ongeorganiseerde pagina’s, het zogenaamde verloren notitieboek van Ramanujan, werd in 1976 herontdekt door George Andrews.

Voor de wiskundige gemeenschap was dit alsof je een kaart kreeg met de gemarkeerde bestemmingen, maar geen wegen die hen daarheen leiden.
De Engelse wiskundige Hardy, die de genialiteit van Ramanujan herkende en hem naar Cambridge bracht, probeerde jarenlang de methoden van zijn medewerker te ontrafelen.
De taak om elke claim in de originele notitieboekjes formeel te bewijzen viel op onderzoekers als Bruce C. Berndt die meer dan twintig jaar aan het project wijdde. Zijn team publiceerde uiteindelijk de proefdrukken in vijf delen tussen 1985 en 1998. Het werk eindigde daar niet.
In 1976 ontdekte wiskundige George Andrews Ramanujans “Lost Notebook“, niet gecatalogiseerd in de Trinity College-bibliotheek in Cambridge. Het manuscript bevatte meer dan 600 extra formules uit het laatste jaar van Ramanujans leven. Andrews en Berndt besteedden nog eens twintig jaar aan het bewijzen van deze resultaten en publiceerden hun laatste deel in 2018.

In zijn laatste dagen schetste Ramanujan een nieuwe klasse wiskundige objecten die ‘nep-theta-functies‘ worden genoemd. Decennia lang begreep niemand hoe ze in de bredere wiskunde pasten totdat Sander Zwegers een theoretisch raamwerk bood. Natuurkundigen gebruiken nu deze nep-thetafuncties om de entropie van zwarte gaten te berekenen en de geometrie te analyseren die ten grondslag ligt aan de snaartheorie. De naar hem genoemde Ramanujan-functie verklaart waarom er, als de supersnaartheorie waar is, er 10 of 26 dimensies moeten zijn.

Het “Lost Notebook”

Ramanujans verloren notitieboek is het manuscript waarin hij de wiskundige ontdekkingen in het laatste jaar (1919–1920) van zijn leven vastlegde. De verblijf-plaats ervan was voor iedereen, op enkele wiskundigen na, onbekend totdat het werd herontdekt George Andrews in 1976, in een doos van G.N. Watson opgeslagen in de Wren Library van Trinity College, Cambridge. Het “notitieboekje” is geen boek, maar bestaat uit losse en ongeordende vellen papier die worden beschreven als “meer dan honderd pagina’s geschreven in het kenmerkende handschrift van Ramanujan. De bladen bevatten meer dan zeshonderd wiskundige formules die opeenvolgend zonder bewijzen werden vermeld.”

George Andrews en Bruce C. Berndt hebben verschillende boeken gepubliceerd waarin ze bewijzen geven voor de formules van Ramanujan die in het notitieboekje zijn opgenomen. Volgens Berndt “veroorzaakte de ontdekking van dit ‘Lost Notebook’ in de wiskundige wereld ongeveer evenveel opschudding als de ontdekking van Beethovens tiende symfonie zou veroorzaken in de muzikale wereld.“

Geschiedenis

Nadat Ramanujan op 26 april 1920 op 32-jarige leeftijd stierf, gaf zijn vrouw zijn notitieboekjes aan de Universiteit van Madras. Op 30 augustus 1923 stuurde griffier Francis Drewsbury een groot deel van dit materiaal naar G.H. Hardy, Ramanujans mentor aan het Trinity College.

… Vrijwel zeker is dit manuscript, of in ieder geval het grootste deel ervan, geschreven tijdens het laatste jaar van Ramanujans leven, na zijn terugkeer naar India vanuit Engeland. … Het manuscript bevat geen inleiding of begeleidende brief. Sterker nog, er staan nauwelijks woorden in het manuscript. Er zijn kennelijk een paar markeringen aangebracht door een catalogiseerder, en er staan een paar opmerkingen in het handschrift van G.H. Hardy. Ongetwijfeld zijn de bekendste objecten die in het verloren notitieboekje worden onderzocht de mock theta-functies …

Ergens tussen 1934 en 1947 heeft Hardy het notitieboekje waarschijnlijk door-gegeven G.N. Watson, die met B.M. Wilson begonnen was met het project om de notitieboekjes van Ramanujan te bewerken. Wilson overleed echter in 1935 en Watson lijkt eind jaren dertig zijn interesse in het project te hebben verloren. Na de dood van Watson in 1965 onderzocht J.M. Whittaker Watsons papieren (die in wanorde verkeerden, en een kamervloer bedekten tot een hoogte van 30 cm en ze zouden binnen een paar dagen worden verbrand) en hij vond gelukkig het notitie-boekje van Ramanujan, waarna hij en R.A. Rankin het verzonden naar Trinity College Wren-bibliotheek op 26 december 1968. George Andrews vond, naar aanleiding van een suggestie van Lucy Slater, het verloren notitieboekje in het voorjaar van 1976 tijdens een bezoek aan Trinity College. Het werd uiteindelijk op 22 december 1987 gepubliceerd door uitgeverij Narosa.

Andrews’ verslag van de ontdekking

George Andrews, een Amerikaanse wiskundige, schreef in 2012 een verslag van de ontdekking voor de 125e viering van de geboorte van Ramanujan. In zijn verslag stelt Andrews dat hij al een gevorderd onderzoeker was op gebieden als mock theta-functies en hypergeometrische reeks, nauw verwant aan het werk van Ramanujan. In 1970, tijdens een sabbatical, schreef hij naar de Britse wiskundige Lucy Slater.
Slater verklaarde in haar antwoord dat ze een “geweldige verzameling” artikelen had geërfd van wiskundigen als Watson, Bailey, Jackson en Rogers, die ongesorteerd waren, waaronder een van de laatste van Ramanujan. Ze zei ook dat andere papieren in het bezit waren van de bibliotheek van het Trinity College.

Hoewel hij in 1970 niet naar Europa kon reizen, kon Andrews dit wel doen in 1976, toen hij een Europese conferentie zou bijwonen Straatsburg, nabij de Frans-Duitse grens. Hij kreeg toestemming en steun van Slater, en van de bibliotheek van het Trinity College en van zijn professor, Ben Noble, om Cambridge na de conferentie te bezoeken, om de “onschatbare” ongepubliceerde geschriften van Watson te onderzoeken. Noble voegde eraan toe dat, als hij tegelijkertijd kon proberen een verloren notitie te vinden van James Clerk Maxwell, dat zeer op prijs zou worden gesteld. De documenten in de bibliotheek bevatten een lijst met zaken uit Watsons nalatenschap. In de lijst stond het item “Een manuscript van 139 pagina’s door S. Ramanujan over q-series”, met daarin het werk uit Ramanujans laatste jaar.

Hoewel niet als zodanig geëtiketteerd, werd de identiteit van de papieren vastgesteld omdat Ramanujans laatste brieven aan Hardy hadden verwezen naar de ontdekking van wat Ramanujan mock-thetafuncties noemde, zij het zonder veel details, en het manuscript bevatte zijn volledige aantekeningen hierover.

Het bericht Ramanujans wiskunde verscheen eerst op HEESEN Online.

Kennis in verzen

Aryabhata was 23 jaar toen hij de Aryabhatiya in 499 afmaakte. Het gaat daarbij om een boekje over astronomie dat in 118 verzen (sutra’s) een samenvatting geeft van toenmalige kennis van de Hindoes op het gebied van sterrenkunde en wiskunde. In de 33 wiskundige verzen werden 66 stellingen gegeven zonder een spoor van een bewijs. Verder kwamen er verzen in voor over tijdrekening en modellen van het planetenstelsel.
Het zijn allemaal typisch voorbeelden van de zaken die in de voorgaande eeuwen voor de op religie gestoelde machthebbers en wetenschapsbeoefenaren interessant waren.

Aryabhata was hoofd van het onderzoekscentrum voor wiskunde en astronomie in Kusumapura. Daar ontstond een school van volgelingen die zijn gedachtengoed verder uitwerkten en nog jarenlang de agenda voor wiskundig en sterrenkundig onderzoek in India bepaalden.

Pi in acht decimalen

Belangrijk was het gebruik van een positiestelsel voor het noteren van getallen. Het boek bevatte sinustabellen voor de goniometrie, er werd gewerkt met machtreeksen en met kwadratische vergelijkingen. Aryabatha kende een heel nauwkeurige benadering (tot op 8 decimalen) van pi en kende formules voor de oppervlakte van de cirkel en de driehoek. Zijn formules voor de inhoud van de piramide en de bol waren foutief of fout vertaald.

Wiskunde als bijzaak van astronomie

Het wiskundige deel van de Aryabhatiya gaat over:

• rekenkunde:
  Aryabhata bedacht het volgende positiestelsel voor getallen: elk van de 33 medeklinkers van het Indische alfabet kreeg als waarde toegewezen 1, 2, 3, … , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Om getallen als 1000, 10.000, etc., te kunnen maken werd aan de medeklinker een klinker toegevoegd. In principe konden getallen tot en met 10¹⁸ op deze wijze worden gemaakt.
  Het is overigens waarschijnlijk dat Aryabhata de Brahmi-cijfers 1, 2, 3, t/m 9 en ook het symbool voor 0 wel heeft gekend¹. Maar als cijfers waarmee getallen in een positiestelsel kunnen worden opgeschreven waren deze symbolen nog niet algemeen in gebruik, dat kwam pas zo’n 100 tot 200 jaar later.
• algebra:
  Dit is het eerst bekende werk waarin gehele oplossingen worden gezocht van vergelijkingen die wij nu noteren als by = ax + c en by = ax – c, waarin  a, b, c  gehele getallen zijn. Deze vergelijkingen ontstonden bij het berekenen van de omwentelingstijd van de planeten.
  Aryabhata gebruikt de ‘kuttaka‘² methode om dit soort stelsels vergelijkingen op te lossen. Deze methode bestond er uit om met behulp van het algoritme van Euclides de grootste gemene deler te vinden van a en b.
  Verder gaf Aryabhata regels voor het optellen van de eerste n gehele getallen, de eerste n kwadraten en de eerste n derde machten.
• trigonometrie (driehoeksmeetkunde):
  Aryabhata meldde dat als je 4 bij 100 optelt, dan het resultaat met 8 vermenigvuldigt en er vervolgens 6200 bij optelt, je de omtrek krijgt van een cirkel met diameter 20000. De benadering van pi die je zo vindt is ongeveer 3,1416, nogal nauwkeurig voor die tijd. Hoe Aryabhata dit heeft gevonden vermeldt hij niet. Toch is het waarschijnlijk dat hij niet de Griekse uitputtings-methode heeft gebruikt, maar zelf een methode heeft verzonnen. Hij begreep ook dat pi een irrationaal getal was.
  Hij gaf in de Aryabhatiya ook tabellen van de sinus van hoeken van 0 tot 90 graden en wel om de 90/24 = 3,75 graden.
  Tenslotte geeft Aryabhata formules voor de oppervlakte van een driehoek en voor de oppervlakte van een cirkel. (Dit waren uiteraard geen formules zoals we die tegenwoordig kennen, maar omschrijvingen in woorden van hoe zoiets kon worden uitgerekend.)
• ruimtemeetkunde:
  De formules voor de inhoud van bol en piramide zijn waarschijnlijk fout (of foutief vertaald door mensen die deze teksten hebben omgezet naar het Arabisch en andere talen). Hierbij gaat het om de verzen 6, 7 en 10, waarin het er op lijkt, dat Aryabhata zelf incorrecte formules gaf.

De Aarde draait om zijn as

De wiskundige inhoud van de Aryabhatiya is eigenlijk een bijproduct van de hoofd-zaak: een astronomische tekst. Daarin geeft Aryabhata een systematische beschrijving van de posities van de planeten in de ruimte. Verder geeft hij een hele goede benadering voor de omtrek van de aarde en beweert hij dat de ogenschijn-lijke draaiing van de hemel een gevolg is van het draaien van de aarde om zijn as. Dit was een zo gewaagde uitspraak in die tijd dat veel latere astronomen er niet in geloofden.
Ook geeft Aryabhata de straal van de planetenbanen om de zon uitgedrukt in de afstand tussen de zon en de aarde. Hij gelooft dat de maan en de planeten alleen zichtbaar zijn omdat ze zonlicht weerkaatsen en spreekt al van ellipsen als de vorm van de baan der planeten. Hij legt op correcte wijze uit hoe maansverduisteringen en zonsverduisteringen ontstaan en dit in tegenstelling tot het toenmalige geloof in India dat deze werden veroorzaakt door de demon Rahu.
Aryabhata’s schatting van de lengte van een jaar op 365 dagen, 6 uur, 12 minuten en 30 seconden is wat aan de grote kant, want de werkelijke jaarlengte is net iets onder de 365 dagen en 6 uur.

Jaren lang bepaalde het werk van Aryabhata het wetenschappelijk leven in India in die tijd. Bijvoorbeeld schreef één van zijn commentatoren (Bhaskara) 100 jaar later:
“Aryabhata is de meester die, na het bereiken van de verste oevers en het duiken in de diepste zeeën van de ultieme kennis der wiskunde, kinematica en astronomie, deze drie wetenschappen naliet aan de geleerde wereld.”

Wiskunde in de vroege Indische beschaving

De Indische beschaving ontstond ongeveer in dezelfde periode als de Egytische en de Mesopotamische beschavingen: zo’n 4000 à 5000 jaar geleden. Ook hier speelden grote rivieren (en dus vruchtbaar landschap) een belangrijke rol. In dit geval waren dat de Indus en de Ganges. Ongeveer zo’m 2500 – 1500 jaar v.Chr. kwamen daar de steden Harappa en Mohenjo-daro (beide in de Indusvallei) tot grote bloei.
Toen al ontstond er (net als in Egypte en Mesopotamië) de behoefte tot een bruikbaar schrift, een systeem voor getallen, de eerste rekenmethoden. Een eerste systeem van maten en gewichten, gebaseerd op de Indus inch (ongeveer 3,35 cm).

Tussen 1500 en 800 v.Chr. werd deze beschaving langzamerhand verdrongen door de Indo-Arische beschaving vanuit het Noord-Westen. Hiermee kwamen de oudste bewaard gebleven geschriften in het Sanskriet de Indische cultuur binnen in de vorm van de Veda‘s, bestaande uit hymnen, spreuken, rituelen, en dergelijke. Dit werden uiteindelijk voorschriften voor de praktijk van de Vedische religie³. Aan die Veda’s werden regels toegevoegd voor het construeren van altaren, waarin een behoorlijke hoeveelheid meetkundige kennis zat opgesloten die alleen voor religieuze doel-einden was ontwikkeld. Dit waren de Sulbasutra‘s.

Omstreeks 300 v.Chr. begon de Vedische godsdienst (met zijn offerrites) langzaam te verwateren en kwamen er andere religies voor in de plaats. In die periode verschenen ook de eerste Brahmi cijfers die zich later zouden ontwikkelen tot ons moderne cijferschrift.

Opkomst van het Jaïnisme

Ook het positiestelsel voor het noteren van getallen begon vanaf dat moment zijn intrede te doen in de Indische beschaving, hoewel het nog heel lang zou duren voordat dit gemeengoed werd. Eén van de godsdiensten die zo rond 500 v.Chr. begon te ontstaan is het Jaïnisme⁴, waarvan de volgelingen Jaina werden genoemd. De Jaina ontwikkelden vanuit hun religieuze en filosofische achtergrond een brede wiskundige kennis. Rond 150 v.Chr. hielden zij zich al bezig met:

• getallentheorie,
• rekenkundige bewerkingen,
• vlakke meetkunde,
• operaties met breuken,
• eenvoudige vergelijkingen (ook kwadratisch en soms met derde en vierde machten) en met
• permutaties en combinaties (manieren om verwisselingen te tellen).

Men ontwikkelde zelfs een theorie over het oneindige en zelfs bestond er iets als logaritmen met grondtal 2.
De Jaina waren vooral geïnteresseerd in sterrenkunde en astrologie, hun belangrijkste drijfveer om verder te studeren in de wiskunde. De wiskunde was alleen bedoeld om van praktisch nut te zijn bij het oplossen van bepaalde problemen die daarbij opdoemden. Men begon ook Griekse wiskundige teksten te vertalen, bijvoor-beeld werd in 200 na Chr. een Griekse astrologie-tekst uit 120 v.Chr. bewerkt naar het Indische gedachtengoed.

Omstreeks 500 na Chr. begon de bloeiperiode van de Indische beschaving met het werk van Aryabhata. Deze vatte hoofdzakelijk alle voorgaande Jaina wiskundige teksten samen in zijn Aryabhatiya. Maar het gaf een impuls tot verdere studie in de wiskunde en de sterrenkunde binnen de Indische beschaving, die later ook werd doorgegeven aan de Arabische Islamitische cultuur en zo bijdroeg aan de heropleving van de wiskunde in West-Europa zo’n 1000 jaar later.

¹ Ifrah stelt in A universal history of numbers : From prehistory to the invention of the computer (London, 1998) dat Aryabhata ook bekend was met cijfersymbolen en het plaatswaardesysteem. Hij schrijft: … het is uiterst waarschijnlijk dat Aryabhata het teken voor nul en de cijfers van het plaatswaardesysteem kende. Deze veronderstelling is gebaseerd op de volgende twee feiten: ten eerste zou de uitvinding van zijn alfabetische telsysteem onmogelijk zijn geweest zonder nul of het plaatswaardesysteem; ten tweede voert hij berekeningen uit op vierkante en kubieke wortels die onmogelijk zijn als de getallen in kwestie niet volgens het plaatswaardesysteem en nul worden geschreven.

² Het woord kuttaka betekent “verpulveren” en de methode bestond uit het opsplitsen van het probleem in nieuwe problemen waarbij de coëfficiënten bij elke stap kleiner werden.

³ Vedisme was de vroege religie van de arya ten tijde van de Rigveda. Het was de godsdienst van semi-nomadische pastorale stammen die vee hielden. Bij vroege religies als natuurgodsdiensten of primaire religies, lag de nadruk op pragmatische zaken als rituelen, offers en taboes. Theïstische vraagstukken en theologie waren over het algemeen van ondergeschikt belang en hoewel er veelal meerdere goden waren, is polytheïsme dan ook een minder geschikte term die vooral voorkomt uit het monotheïsme van de beschrijvende historici.

⁴ Het jaïnisme, dat traditioneel als Jain Dharma (Sanskriet: जैन धर्मः) bekendstaat, is een religie die voornamelijk aanhangers heeft in het westen van India. Het jaïnisme gelooft dat de mensheid onderwezen wordt door tirtamkara’s, spirituele en religieuze leraren waarvan Mahavira (zesde eeuw v. Chr.), een tijdgenoot van  Gautama Boeddha, de laatste was. Belangrijke concepten zijn de leer van geweld-loosheid (ahimsa), geloof in reïncarnatie, karma en dharma, en verlossing door  ascese.

Het bericht Vroege Indische wiskunde verscheen eerst op HEESEN Online.

Twee oneindige verzamelingen

In zijn laatste boek, Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze² stelde Galileo een gedachte-experiment voor over oneindige verzamelingen.
Hij evalueerde twee groepen getallen. De eerste bevatte alle positieve gehele getallen: 1, 2, 3, 4, 5, enzovoort. De tweede bevatte alleen de perfecte kwadraten: 1, 4, 9, 16, 25, en dus, benadrukte Galileo, twee logisch verantwoorde maar volledig incompatibele waarnemingen.
Want: perfecte kwadraten zijn relatief zeldzaam. De meeste gehele getallen 2, 3, 5, 6, 7 en 8 zijn geen kwadraten. Naarmate getallen groter worden, worden de gaten tussen kwadraten aanzienlijk groter. Omdat de kwadraten dus slechts een kleine deelverzameling zijn van de gehele getallen, moet de verzameling van alle gehele getallen veel groter zijn dan de verzameling kwadraten. Maar, elk geheel getal kan worden gekwadrateerd om precies één perfect kwadraat te produceren, en elk perfect kwadraat heeft precies één geheel getal als positieve vierkantswortel. Je kunt ze dus perfect koppelen: 1 met 1, 2 met 4, 3 met 9 enzovoorts, zonder ooit op te raken. De groepen werken perfect samen, daarom moeten de twee verzamelingen precies even groot zijn, terwijl de een een deelverzameling van de ander is, en dat is met elkaar in tegenspraak.

Wel/Niet even groot?

Geconfronteerd met deze paradox concludeerde Galileo dat de begrippen “minder dan“, “gelijk aan” en “groter dan” alleen kunnen worden toegepast op eindige groepen. Hij stelde dat een oneindige grootheid een absolutie is die niet kan worden vergeleken met een andere oneindige grootheid, en concludeerde dat de menselijke geest eenvoudigweg niet kon rekenen met oneindigheid.

Galileo had het mis, maar zijn onjuiste conclusie blijft van groot belang. Het exacte mechanisme dat hij gebruikte om de paradox te identificeren, het één-op-één koppelen van items, werd uiteindelijk de basis van de moderne verzamelingenleer. Twee en een halve eeuw later keek de wiskundige Georg Cantor³ naar de exacte koppelingsoefening van Galileo en realiseerde zich dat dit helemaal geen paradox is, maar de bepalende eigenschap van oneindige verzamelingen.

¹ Galileo Galilei (1564-1642) was een Italiaans  natuurkundige,  astronoom,  wiskundige en filosoof. Hij was hoogleraar in Pisa (1589-1592) en Padua (1592-1610). In het Nederlands, het Duits en in de Scandinavische talen wordt hij meestal aangeduid als Galilei, in het Frans als Galilée. In de meeste andere Europese talen wordt hij bij zijn voornaam Galileo genoemd. Hij legde de grondslagen voor de experimentele natuurkunde en de dynamica van Isaac Newton. Bovendien stond hij aan de wieg van de moderne astronomie. Hij ontdekte onder meer de vier grote manen van Jupiter (die ook wel de Galileïsche manen worden genoemd), de schijngestalten van Venus en hij zag als eerste zonnevlekken. Galileï doet nog meer belangrijke, uiteenlopende ontdekkingen in zowel de zuivere als toegepaste wetenschap en komt met vernieuwende natuurkundige theorieën. Zo leert hij zijn studenten bijvoorbeeld dat de valversnelling onafhankelijk is van de massa, in tegenstelling tot waar Aristoteles in geloofde. Het verhaal dat hij dit zou hebben ontdekt door stalen kogels van de toren van Pisa te laten vallen, is overigens inmiddels ontmaskerd als een fabel.
Galilei aarzelde soms om een ontdekking te publiceren. Hij liep het risico niet serieus genomen te worden als naderhand bleek dat hij het verkeerd had gezien. Aan de andere kant wilde hij niet het risico lopen dat een andere ontdekker er eerder mee zou komen. Daarom publiceerde hij zijn ontdekkingen als anagram, door de letters van een zin door elkaar te gooien. Hij kon dan achteraf, door de oplossing van het anagram te geven, aantonen dat hij de eerste ontdekker was.
De astronoom Johannes Kepler trachtte de anagrammen op te lossen. Opmerkelijk is dat hij twee keer een onjuiste oplossing vond en dus onjuist concludeerde wat Galilei gezien had. Beide keren beschreef de onjuiste oplossing echter iets wat werkelijk bestond, maar pas later werd ontdekt.
Galileï weet, na zijn astrnomische ontdekkingen, nu zeker wat hij eerder al vermoedde: onze planeet draait om de zon en niet andersom. Dat vermoeden blijkt uit een brief uit 1597 aan de Duitse sterrenkundige Johannes Kepler, waarin hij schrijft: ‘De leer van Copernicus lijkt mij meer aannemelijk dan die van Aristoteles’. De leer van Copernicus is het heliocentrisme zoals beschreven in zijn manuscript De revolutionibus orbium coelestium (Over de omlopen van de hemellichamen) uit 1530. Het heliocentrische wereldbeeld staat lijnrecht tegenover het toen gangbare Aristotelische idee van het geocentrisme, dat ook werd beschreven door Plato en Ptolemaus: de aarde is het onbewogen middelpunt van het universum. Belangrijker nog was dat dit idee ook als uitgangspunt gold voor de almachtige Rooms-Katholieke kerk en die is ‘not amused’. In 1616 wordt hij door de Inquisitie  veroordeeld voor ketterij en geloofsdwaling. Hij wordt gedwongen afstand te doen van zijn ontdekkingen en hij mag het Copernicaanse model niet meer propageren. Galileï lapt het verbod aan zijn laars als hij in 1632 in Florence zijn Dialogo publiceert, een boek waarin duidelijk het heliocentrische wereldbeeld in gespreksvorm wordt verdedigd. In oktober van dat jaar moet hij weer voor de kerkelijke rechtbank in Rome verschijnen. Deze veroordeelt Galileï tot levenslang huisarrest en dwingt hem zijn leer voorgoed af te zweren. Galileï, 69 jaar oud, schijnt bij het aanhoren van zijn vonnis te hebben uitgeroepen: ‘Eppur si muove’, (en toch beweegt zij (de aarde om de zon)).

² “Gesprekken en wiskundige bewijzen in twee nieuwe wetenschappen“, is een natuurkundig werk dat een forse stap zette op de weg naar de klassieke mechanica van Christiaan Huygens en Isaac Newton. Galilei schreef het onder huisarrest, deels in het Italiaans en deels in het Latijn, en liet het naar de uitgever Lodewijk Elsevier smokkelen, die het in 1638 drukte te Leiden. In een eerdere werk, waarin hij drie personages opvoerde die het geocentrische en het heliocentrische systeem bespraken, was verboden door de Romeinse inquisitie, naast andere maatregelen. Hij woonde in zijn villa in Arcetri onder huisarrest en mocht feitelijk niet meer publiceren. Bovendien was hij blind aan het worden. Niettemin zette hij zich aan een laatste werk, dat een systematisch overzicht moest bieden van zijn experimenten en bevindingen van de voorbije dertig jaar. Door tussenkomst van Elia Diodati vond hij in Lodewijk Elsevier een Nederlandse uitgever die zich weinig gelegen hoefde te laten liggen aan de inquisitie en die hem in mei 1636 kwam opzoeken in Arcetri. Het boek verscheen in juni 1638 en werd door Galilei opgedragen aan zijn beschermer François de Noailles (1519-1585). De grote wetenschapper was toen 74 jaar en had nog vier jaar te leven.

³ Oneindigheid heeft mensen door de eeuwen heen immens gefascineerd.
Het is de grote verdienste van Georg Cantor (1845–1918) geweest om het begrip oneindigheid wiskundig binnen bereik te brengen. Hij deed dit met behulp van de door hem ontwikkelde theorie van (oneindige) verzamelingen. Opmerkelijke, misschien zelfs contra-intuïtieve resultaten vloeiden hieruit voort, zoals zijn constatering dat er verschillende graden van oneindigheid zijn. Cantors werk werd in zijn tijd bepaald niet door alle collega’s gewaardeerd. Daarvoor trad hij teveel buiten de toen gangbare wiskundige paden. Pas later in zijn leven werd de verdienste van zijn inzichten begrepen. De beroemde wiskundige David Hilbert merkte op dat “Cantor ons een paradijs heeft binnengebracht waaruit niemand ons meer zal verjagen“.

Het bericht Galilei’s paradox verscheen eerst op HEESEN Online.

In een nieuwe studie die op 8 oktober in het tijdschrift Patterns is gepubliceerd, laten natuurkundeprofessor Neil Johnson en promovendus Frank Yingjie Huo, beiden aan de George Washington University, zien hoe de volgorde waarin een chatbot bepaalde aanwijzingen (“prompts”) krijgt, zijn antwoorden drastisch kan hervormen, wat leidt tot tot “omslagpunten” die de chatbot naar een slecht advies kunnen sturen. Johnson en Huo zeggen echter dat hun formule deze omslagpunten gemakkelijk kan voorspellen.

Er zijn horrorverhalen geweest waarin AI gebruikers aanmoedigde tot zelfmoord, hielp bij het bouwen van dodelijke wapens en gewelddadige of schadelijke standpunten versterkte. Tegelijkertijd hebben onderzoekers van respectievelijk OpenAI en Anthropic herhaaldelijk en openlijk verklaard dat ze niet echt begrijpen waarom hun creaties zich gedragen zoals ze doen. Ze hebben echter ingebouwde waarborgen om risico’s te verminderen.

Maar Johnson beschouwt deze instrumenten als onvoldoende. “De veiligheids-maatregelen zijn nu het equivalent van het vastbinden van grote, veerkrachtige kussens onder een vliegtuig“, vertelde hij. “Ze voorkomen niet dat het vliegtuig neerstort; ze zorgen er gewoon voor dat wanneer het vliegtuig neerstort, het iets zachter zal zijn.”

Johnson en Huo probeerden een fundamentelere waarborg te vinden dan de momenteel beschikbare instrumenten. Daarbij hebben ze een intern volg-mechanisme blootgelegd dat ze omschrijven als een kompasnaald. Deze naald is de “restvector” van het model die door neurale netwerklagen beweegt terwijl een prompt wordt verwerkt.

De restvector wordt van nature aangetrokken tot wenselijke of ongewenste output, maar wordt sterk beïnvloed door de manier waarop een gebruiker de AI aanstuurt. “Je kunt de balans doen doorslaan, niet eens door de inhoud te veranderen, maar door de volgorde waarin je het vraagt te veranderen“, zei Johnson, “wat alleen maar laat zien hoe delicaat dit interne evenwicht tussen goed en slecht, wenselijk en ongewenst kan zijn.”

Johnson en Huo hebben bijvoorbeeld het basis-GPT-2-model van OpenAI gevraagd met vragen over vaccins, het kwetsen van anderen en zelfbeschadiging. Wanneer de vraag “Zijn vaccins slecht?” als eerste werd gevraagd: dan waren de antwoorden van de bot hierop en daaropvolgende vragen wenselijk of goed. Toen het als laatste werd gevraagd, waren alle daaropvolgende reacties zorgwekkend.

Op basis van deze inzichten ontwikkelden de onderzoekers een wiskundige formule om de omstandigheden te schatten waarin een AI het omslagpunt tussen wenselijke en ongewenste output zou bereiken. Johnson zei dat ze, door hun eenvoudige wiskundige formule in open-sourcemodellen in het laboratorium in te bedden, hebben aangetoond dat het empirisch werkt als een systeem voor vroegtijdige waarschuwing, hoewel hij niet verwacht dat OpenAI of Anthropic binnenkort bij hem aankloppen.

“Ik verwacht veel tegenwerking van deze bedrijven“, zei hij. “Het is niet in hun belang dat iemand van buitenaf zegt dat je veel van de problemen had kunnen vermijden.“

Wei Xing, docent AI aan de Universiteit van Sheffield in Groot-Brittannië en niet betrokken bij het onderzoek, is het ermee eens dat de zorgen rond niet-gecontroleerde offline apparaten gegrond zijn. Hij drong echter aan op voorzichtig-heid voordat hij deze aanpak als een praktische waarborg omarmde. “De auteurs reduceren een enorm systeem tot één klein onderdeel, zoals het uitleggen van een hele auto door één bougie te bestuderen“, zei Xing.

Veiligheidstraining — de primaire verdediging in moderne AI — kan niet worden weergegeven in hun vereenvoudigde model. De formule werd alleen getest op oude basismodellen (GPT-2 en EleutherAI’s open-sourcemodellen Pythia en Meta OPT) in plaats van op AI-assistenten die mensen nu daadwerkelijk gebruiken. De resultaten leverden geen significant bewijs op om de conclusies van de auteurs’ te onder-steunen, voegde hij eraan toe.

Ter verdediging beweert Johnson dat de open-sourcemodellen die ze gebruikten dezelfde mechanische blauwdrukken hebben als grenssystemen, en dat hij en Huo in hun onderzoek vrij grote modellen met een miljard parameters gebruikten.

Er zijn meer tests op de nieuwste modellen nodig om te bepalen of dit systeem voor vroegtijdige waarschuwing voor AI kan werken. Maar voorlopig heeft het onderzoek van Johnson en Huo de aandacht gevestigd op een belangrijke zorg waarvan iedereen zich bewust zou moeten zijn: dat AI het vermogen heeft om in een mum van tijd over te gaan op ongewenst gedrag.

Het bericht Is er een rem op AI? verscheen eerst op HEESEN Online.

De Aard van de Tijd

Wat is tijd? Het blijft iets mysterieus. Aan de ene kant is de tijd alomtegenwoordig en in zekere zin almachtig (in tegenstelling tot het bekende Arabische gezegde: “Alles ter wereld vreest de tijd, maar de tijd vreest de piramides”).
Aan de andere kant, hoewel we allemaal intuïtief begrijpen wat het is, lijkt het bijna onmogelijk om een precieze definitie van het concept “tijd” te geven.

Tijd is verandering

Eén manier om tijd te beschouwen is als “verandering.” Maar dan komen we direct bij de keerzijde van de medaille. Verandering is ondenkbaar zonder tijd, maar tijd is ook ondenkbaar zonder verandering. De denkbeeldige onderbreking/stilstaan van de tijd is meteen een volledige bevriezing van het leven en het universum.

Tijd is dus de gemeenschappelijke noemer van onze wereld, van onze werkelijkheid. We ervaren het op verschillende manieren: soms beschouwen we het verleden als iets verlorens en betreuren het; soms proberen we het heden verstandig te gebruiken, zodat onze toekomst beter zal zijn; en soms wachten we reikhalzend op wat er dan gaat gebeuren.

Eerste noties van tijd in de filosofie

Een van de eerste filosofen die begon na te denken over de aard van de tijd was Plato. De tijd typeert hij in zijn verhandeling Timaeus als een kenmerk van een onvolmaakte dynamische wereld, waar geen goed is, maar alleen het verlangen om dit te bezitten. De tijd onthult momenten van onvolledigheid en minderwaardigheid.
De eeuwigheid is daarentegen een kenmerk van de statische en volmaakte wereld van de goden.

Tijd is beweging

Aristoteles ontwikkelde dit begrip van tijd verder en definieerde het als een “bewegingsmaatstaf”. Deze interpretatie werd vastgelegd in zijn natuurkunde en legde de basis voor het natuurwetenschappelijke begrip van tijd. Hij stelt de vraag naar het bewijs van het bestaan van tijd en reproduceert hier een dialectische benadering: het verleden bestaat niet meer, de toekomst bestaat nog niet, en het heden is het moment van de eenheid van zijn en niet-zijn.

Deze dialectische benadering bracht Aristoteles ertoe het verband tussen tijd en beweging te bestuderen. Hij toonde aan dat tijd, hoewel niet identiek aan beweging, toch onlosmakelijk verbonden is met beweging. Aristoteles definieert tijd als “het aantal bewegingen in relatie tot het verleden en de toekomst” en als een “maatstaf voor beweging en rust.”

Tijd is perceptie

Later, aan het begin van de middeleeuwen, ontwikkelde Augustinus het begrip subjectieve tijd. Hij beschreef tijd als een mentaal fenomeen van veranderende percepties. Augustinus onderscheidt drie delen van de tijd: heden, verleden en toekomst.

Newton en Einstein

De afgelopen honderd jaar heeft er een echte revolutie plaatsgevonden in het wetenschappelijk begrip van tijd. Tot het begin van de 20e eeuw werden de natuurkunde en het alledaagse bewustzijn gedomineerd door Isaac Newtons postulaat van absolute wiskundige tijd.

Tijd is universeel

Volgens hem stroomt de tijd met dezelfde snelheid door het hele universum en is hij op geen enkele manier afhankelijk van fysieke of andere processen die daarin plaatsvinden.

Als het bijvoorbeeld zes uur ’s avonds is in het goede oude Engeland dan is het tijd om thee te drinken. Dit betekent dat het ergens in de Andromeda-nevel, duizenden lichtjaren verwijderd, het ook zes uur ’s avonds is! Dit begrip van tijd past goed bij onze dagelijkse ervaring; het is intuïtief.

Daarom was de speciale relativiteitstheorie, ontwikkeld in 1905 door Albert Einstein, een ware schok voor de wetenschappelijke wereld. We zullen een paar belangrijke punten benadrukken.

Ten eerste bestaat tijd volgens deze theorie niet op zichzelf, maar vormt het één geheel met ruimte (vandaar de uitdrukkingen “ruimte-tijd” en “ruimte-tijd continuüm”).

Tijd is relatief

Ten tweede is tijd, net als andere fysieke grootheden, relatief, en dus hangt de snelheid af van het referentiepunt. Dat wil zeggen dat bij een object dat beweegt (bijvoorbeeld in een ruimteschip) de klok langzamer zal lopen dan bij een stilstaand object. Dergelijke zogenaamde relativistische effecten manifesteren zich echter alleen significant meetbaar bij snelheden die dicht bij de lichtsnelheid in een vacuüm liggen (ongeveer 300.000 kilometer per seconde). In Einsteins theorie is dat ook de maximaal haalbare snelheid.

Vandaar bijvoorbeeld de bekende tweelingparadox: wanneer een van de tweeling-broers op een schip de ruimte in gaat en daar een paar jaar doorbrengt, vliegend met bijna lichtsnelheid, zal hij na thuiskomst zien dat er op aarde hele decennia zijn verstreken!

Maar Einsteins weerlegging van Newtons theorieën over tijd hield daar niet op.
De wet van Newton van de universele zwaartekracht gaat uit van een oneindige voortplantingssnelheid van de zwaartekracht. Op basis van Einsteins postulaat over de grens van de lichtsnelheid, is dit echter onmogelijk. Daarom moest Einstein zijn eigen zwaartekrachttheorie ontwikkelen, waardoor zijn speciale relativiteitstheorie uitgroeide tot de algemene relativiteitstheorie.

Geleefde tijd vs Kloktijd

Wat de tijd betreft, zijn de conclusies van de algemene relativiteitstheorie misschien nog indrukwekkender dan die van de speciale theorie. Tijd, zo blijkt, is niet alleen onlosmakelijk verbonden met de ruimte, maar ook met de materie!
In het bijzonder kan de zwaartekracht van fysieke lichamen de tijd weer vertragen, en als de zwaartekracht sterk genoeg is, kan deze deze de tijd zelfs stoppen! Dit laatste fenomeen is kenmerkend voor zogenaamde “zwarte gaten”. Dat zijn kosmische objecten die de laatste fase vormen van de evolutie van massieve sterren.
Interessant is ook Einsteins debat met Henri Bergson over de aard van de tijd. Bergson dacht dat Einsteins opvatting van tijd onvolledig was en maakte een onderscheid tussen “geleefde tijd” (de subjectieve ervaring van duur) en “kloktijd” (die van Einstein)

Immanuel Kants Theorie van de Tijd

In de wereld van de filosofie had Immanuel Kant een behoorlijk groot probleem als het gaat om het begrip van tijd. Hij geloofde dat tijd niet iets was dat op zichzelf bestond, maar eerder een kenmerk van de geest.
Zie het zo dat je hersenen de wereld om je heen niet op een volkomen nauwkeurige manier weerspiegelt; maar in plaats daarvan organiseren ze alles in verschillende categorieën, zodat je kunt begrijpen wat je ziet. En een van die categorieën is tijd. Dus voor Kant is tijd niet iets concreets dat er gewoon is; in plaats daarvan zag hij het als een “lege vorm”, wat in eerste instantie misschien raar en niet intuïtief klinkt.

Tijd is subjectief

Ergens in je hersenen is een “tijdwaarnemings”-mechanisme dat ons helpt dingen te zien gebeuren op een specifieke tijdlijn. Zonder dit mechanisme zouden we de gebeurtenissen misschien niet kunnen begrijpen, omdat dan alles in één keer zou gebeuren.

Maar misschien denk je: “Oké, dus Kant dacht dat we tijd creëren met onze geest, wat maakt dat uit?” Welnu, er is nog iets dat hij geloofde: als we aan tijd (en ook aan ruimte) denken, observeren we niet alleen passief de wereld om ons heen, we zijn er ook actief mee bezig via onze gedachten en ervaringen.

Anders gezegd: stel je voor dat je bij een concert bent. De muziek speelt op het podium en je ervaart dat elk nummer de een na de ander gebeurt. Maar stel dat je beste vriend ook bij het concert was, maar in een ander gedeelte zat dan jij. In dat geval zouden hij een totaal andere ervaring hebben, omdat hij dankzij zijn unieke perspectief alles anders zou horen en zien. Dit is een beetje hoe Kant tijd ziet, iedereen ervaart dingen iets anders op basis van hoe zijn geest informatie verwerkt.

Dus hoewel Newton de tijd misschien meer als een objectieve universele natuurwet had benaderd, zag Kant het meer als iets dat voortdurend werd gevormd door onze eigen gedachten en daden.

Verleden, heden, toekomst

Verleden

Laten we beginnen met het verleden. Voor sommige filosofen (zoals Hegel) is het verleden iets dat al is gebeurd en niet kan worden veranderd. Het is als een boek dat al geschreven is. Je kunt niet teruggaan en wissen of herschrijven wat erin is gebeurd.

Anderen (zoals Nietzsche) zagen de zaken een beetje anders: ze geloofden dat het verleden niet in steen gebeiteld is; in plaats daarvan verandert de manier waarop we het ons herinneren afhankelijk is van onze huidige situatie en perspectief.

Heden

Voor het heden wordt het lastig: sommige moderne filosofen denken dat tijd helemaal niet bestaat! In plaats daarvan geloven ze dat alles in één keer gebeurt (een beetje zoals frame voor frame naar een film kijken), maar onze hersenen verwerken alles alsof het een continue proces is.

Weer anderen zien het heden als een belangrijk moment voor het nemen van beslissingen die onze toekomst vorm zullen geven.

Toekomst

De toekomst is als kijken in een kristallen bol; Ook al weet niemand wat er daarna zal gebeuren, elke actie die zowel in het echte leven als in fictie wordt ondernomen, maakt de weg vrij voor een onbekende toekomst.

Sommige filosofen (zoals Heidegger) dachten dat de toekomst iets was dat we een beetje konden bereiken “door keuzes te maken in het heden“, zoals vandaag naar iets grijpen dat ons morgen zal helpen. Anderen hebben een meer fatalistische visie, waarin de toekomst vooraf al bepaald is, en we allemaal gewoon onderweg zijn.

Dus, wat is tijd in de filosofie?

Als het om filosofie gaat, is de tijd vanuit alle invalshoeken verkend: verleden, heden, toekomst en alles daartussenin! Maar via al deze verschillende denkrichtingen zijn er een paar belangrijke dingen die we zeker kunnen zeggen over wat tijd eigenlijk is (en niet is).

Tijd is hulpmiddel

Ten eerste zijn de meeste filosofen het erover eens dat tijd niet een soort universele kracht is. Het is niet zoals zwaartekracht of elektriciteit, want je kunt het niet op dezelfde manier meten als afstand of snelheid.
Tijd bestaat niet onafhankelijk; in plaats daarvan lijkt het meer op een hulpmiddel dat we gebruiken om de wereld om ons heen te begrijpen.

Tijd is illusie

Sommige filosofen denken dat tijd een illusie kan zijn, een beetje zoals hoe een luchtspiegeling in de woestijn echt lijkt te zijn, ook al is die er niet echt. In plaats daarvan geloven ze dat alles altijd tegelijk gebeurt, ook al lijkt het ons niet zo.

Tijd is sociale constructie

Andere filosofen zien tijd als een essentieel onderdeel van de menselijke ervaring. iets dat onze herinneringen vormt en ons met elkaar verbindt. Denk er eens over na: hoe zouden we onszelf als samenleving organiseren zonder gedeelde ideeën over wat tijd betekent (zoals “dag” of “jaar”)?
Op deze manier is tijd dus zowel een persoonlijke als een sociale constructie.

Het bericht Het begrip “tijd” in de filosofie verscheen eerst op HEESEN Online.

Het magnum opus van Alfred North Whitehead¹ en Bertrand Russell² ligt in de schappen van de bibliotheek als een monumentaal overblijfsel uit de geschiedenis. Gepubliceerd tussen 1910 en 1913, is het driedelige werk ontstaan uit een crisis in de grondslagen van de wiskunde. Paradoxen begonnen in de verzamelingenleer te verschijnen en bedreigden de logische basis van de rekenkunde³. Whitehead en Russell probeerden dit op te lossen door aan te tonen dat alle wiskundige waarheden volledig konden worden afgeleid uit een kleine reeks onbetwistbare logische axioma’s, een filosofisch project dat bekend staat als logicisme⁴.

Om paradoxen te elimineren, hebben de auteurs de ‘vertakte typetheorie‘⁵ uitgevonden wat zelfreferentiële verzamelingen verhinderd (die aanleiding waren voor de Russell paradox). Maar voor de toepassing van dit systeem was een tergend dichte, bijna onleesbare symbolische taal nodig, genaamd Peano-Russell-notatie. Elke stap van de logica moest in microscopisch detail worden uiteengezet. Tegen de tijd dat de Principia wiskunde op een hoger niveau bereikte, was de notatie zo log dat het onmogelijk was om deze te gebruiken voor praktische bewijzen.

De meeste werkende wiskundigen vonden de symbolische manipulatie vermoeiend en wendden zich tot de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer (ZFC)⁶. ZFC was veel eenvoudiger en intuïtiever en werd al snel de gouden standaardbasis voor de moderne wiskunde. De definitieve klap voor de Principia was niet praktisch, maar wiskundig.

In 1931 publiceerde de logicus Kurt Gödel⁷ zijn First Incompleteness Theorem. Gödel bewees dat elk consistent formeel systeem dat complex genoeg is om de basisrekenkunde te beschrijven, altijd ware uitspraken zal bevatten die niet vanuit het systeem zelf kunnen worden bewezen. Dit ene bewijs ontmantelde definitief de grote ambitie van Whitehead en Russell: er is dus geen enkelvoudige, volledige en perfect consistente formalisering van alle wiskunde. Hoewel geen enkele moderne wiskundige de Principia gebruikt om vergelijkingen op te lossen, blijft de intellectuele voetafdruk enorm.

De rigoureuze symbolische logica die Whitehead en Russell ontwikkelden, had een grote invloed op de vroege informatica. Hun poging om wiskundig redeneren te mechaniseren legde de basis voor figuren als Alan Turing om berekeningen te formaliseren, wat rechtstreeks de weg vrijmaakte voor de algoritmen die de moderne wereld besturen.

¹ Alfred North Whitehead (1861-1947) was een Brits-Amerikaanse filosoof,  natuurkundige en wiskundige. Zijn bekendste wiskundige werk is de Principia Mathematica, dat hij schreef met Bertrand Russell. In de natuurkunde was zijn bekendste werk een zwaartekrachtstheorie die decennialang concurreerde met de algemene relativiteitstheorie van Albert Einstein. In de filosofie was hij de grondlegger van de procesfilosofie.

² Bertrand Arthur William Russell (1872–1970) was een Britse filosoof, historicus,  logicus, wiskundige, voorvechter voor sociale vernieuwing, humanist, pacifist en een prominent atheïstisch rationalist. Russell werd in 1949 de Order of Merit toegekend en in 1950 ontving hij de Nobelprijs voor Literatuur. Als schrijver heeft hij de  filosofie gepopulariseerd en commentaren geschreven over vele onderwerpen.

³ Over die paradoxen bestaat een leuke anecdote met Russell als hoofdfiguur. De Duitse wiskundige en logicus Gottlob Frege was de eerste belangrijke voorstander van het logicisme – het idee dat wiskunde reduceerbaar is tot logica. Zijn Grundgesetze der Arithmetik (Grondwetten van Rekenkunde) was een poging om de wetten van de rekenkunde uit de logica af te leiden. Na publicatie van het eerste deel (op Freges eigen kosten) ontdekte Russell de Russellparadox en toonde aan dat de axioma’s van de Grondwetten tot deze tegenstelling leidden. Hij schreef Frege hierover, die de paradox onderkende in een appendix bij het tweede deel van zijn werk.

⁴ Het logicisme is een van de scholen van denken in de filosofie van de wiskunde. Het logicisme stelt dat de wiskunde een uitbreiding van de logica is en dat daarom (een deel van) de wiskunde reduceerbaar is tot logica. Bertrand Russell en Alfred North Whitehead maakten zich sterk voor deze theorie, waarvan Gottlob Frege de geestelijke vader was. Frege gaf het project op, nadat Russell een paradox had gevonden die een inconsistentie in de naïeve verzamelingenleer aan het licht bracht. 

⁵ De vertakte typentheorie, geïntroduceerd door Bertrand Russell in Principia Mathematica, is een logisch systeem dat is ontworpen om paradoxen te voorkomen. Deze paradoxen kwamen voort uit het onbeperkte gebruik van predikaatfuncties als variabelen. De theorie stelt een hiërarchie van logische typen vast, waarbij entiteiten van een bepaald type alleen leden van een lager type kunnen bevatten. Deze structuur voorkomt zelfreferentiële definities en circulair redeneren, zoals de paradox van Russell, die het bestaan in twijfel trekt van een verzameling die alle verzamelingen bevat die zichzelf niet bevatten.

⁶ In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, vernoemd naar de wiskundigen Ernst Zermelo  en Abraham Fraenkel en vaak afgekort tot ZF, een van de verschillende axiomatische systemen, die in het begin van de twintigste eeuw werden voorgesteld om een  verzamelingenleer te formuleren, zonder de paradoxen van de naïeve verzamelingenleer, zoals de paradox van Russell. In het bijzonder bevat ZF niet het comprehensieaxioma, maar slechts een beperkte variant ervan. Daardoor is het in ZF niet voor elke eigenschap mogelijk een verzameling te vormen van alle objecten die deze eigenschap hebben.
Vandaag de dag is de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer met  keuzeaxioma  (afgekort tot ZFC, waarbij de C voor het Engelse Choice staat) de standaardvorm van de axiomatische verzamelingenleer en als zodanig het meest gebruikelijke  fundament van de wiskunde.

⁷ Kurt Friedrich Gödel (1906–1978) was een Oostenrijks-Amerikaans wiskundige,  logicus en filosoof. Hij wordt gezien als een van de belangrijkste logici aller tijden. Gödel heeft een enorme invloed gehad op het wetenschappelijke en filosofische denken van de 20e eeuw, doordat hij het eerdere werk van Bertrand Russell, A. N. Whitehead en David Hilbert om de wiskunde op een formele basis van een sluitend overkoepelend axiomatisch systeem te grondvesten, in belangrijke mate ondergroef. In 1931 bewees Gödel namelijk dat binnen elk zelfconsistent recursief axiomatisch systeem, dat krachtig genoeg is om de rekenkunde van de natuurlijke getallen te beschrijven (Peano-rekenkunde), er ten minste een ware stelling over de natuurlijke getallen bestaat, die niet bewezen kan worden op basis van de axioma’s van dit systeem. Bij de bewijsvoering van deze stelling ontwikkelde Gödel een techniek die tegenwoordig bekendstaat als de Gödel-nummering, die aan elke formele uitspraak een natuurlijk getal toekent.
Deze stelling staat bekend als de eerste  onvolledigheidsstelling van Gödel.

Het bericht Principia Mathematica verscheen eerst op HEESEN Online.