Srinivasa Aaiyangar Ramanujan (1887–1920) was een Indiaas, grotendeels autodidact, wiskundige. Hij hield zich vooral bezig met diverse aspecten van de getaltheorie.
Van zijn tiende jaar af leerde hij zichzelf wiskunde. Volkomen geïsoleerd van de wiskundige wereld, leidde hij voor zichzelf 100 jaar westerse wiskunde af. Michio Kaku schrijft in zijn boek Hyperruimte dat de grote tragedie van zijn leven is geweest dat hij zoveel tijd heeft verspild aan het opnieuw ontdekken van bekende wiskunde. Hij slaagde voor geen enkel schoolexamen en kreeg een onbeduidend baantje in Madras. Van het karige loon kon hij zichzelf onderhouden en zich wijden aan zijn wiskundige passie.
In 1913 schreef hij brieven aan een drietal Engelse wiskundigen. Een van hen, Godfrey Harold Hardy, erkende zijn groot wiskundig talent en haalde hem naar Cambridge, waar hij een enorme hoeveelheid wiskundig werk produceerde.
Hardy’s verhaal van de ontdekking
Toen Hardy de brief opende, ontcijferde hij een onhandig schoolschrift. “Geachte heer,” luidde de aanhef. “Gaarne zou ik mij bij u willen introduceren als een klerk die werkt op de boekhouding van het Port Trust Office in Madras voor een jaarsalaris van 20 pond. Ik ben 23 jaar oud en heb geen universitaire opleiding genoten. In mijn vrije tijd heb ik mij bezig gehouden met wiskunde. Ik ben daarin mijn eigen weg gegaan. Ik verrichtte een speciaal onderzoek naar divergente series, en mijn resultaten waren volgens wiskundigen hier ‘verbazingwekkend’. Ik zou u willen verzoeken de bijgevoegde berekeningen na te gaan en – als er iets van waarde bij mocht zijn – ze gepubliceerd te krijgen. Omdat ik daarin geen ervaring heb, zou ik het zeer op prijs stellen als u mij daarover zoudt willen adviseren. Hoogachtend, S. Ramanujan.“
“Alweer zo’n gek, die denkt dat hij iets nieuws heeft uitgevonden,” dacht Hardy, en wilde de brief opzij leggen. Onwillekeurig echter dwaalde hij door de pagina’s met mathematische symbolen. Verrast nam hij kennis van de formules en de stellingen. Sommige brachten een lichte schok van herkenning teweeg, omdat hij zelf al tevergeefs had geprobeerd ze te bewijzen. Andere kon hij slechts met de grootste moeite thuisbrengen. “Als de schrijver van de brief een gek is, is hij in ieder geval een bijzondere gek,” beschreef Hardy later zijn gedachten. Hij besloot de berekeningen later nog eens te bekijken. Inmiddels was het tijd geworden voor zijn college. Toen Hardy na afloop van zijn werkzaamheden terugliep naar zijn kamers, kwam de inhoud van de brief hem weer voor de geest. Ongebruikelijke formules, plus enkele bekende, die echter in een nieuwe vorm waren gegoten. Het was een bonte mengel-moes. ’s Avonds, tijdens de maaltijd met de overige lectoren en professoren, toonde Hardy de brief aan iedereen die maar naar hem wilde luisteren. “Deze man is ofwel gek, ofwel een genie,” riep Hardy telkens uit, zwaaiend met de enveloppe. Dat wekte de belangstelling van John Littlewood, een collega-wiskundige. Beiden besloten de brief gezamenlijk door te nemen. Hardy en Littlewood trokken zich terug in de lege schaakkamer. Twee en een half uur later kwamen ze naar buiten met de uitslag. De schrijver was een genie! Hardy ging zich ogenblikkelijk beijveren om dit wiskunde-wonder naar Engeland te halen en schreef Ramanujan terug.
Ramanujan was diep ontroerd. “Ik heb in u een vriend gevonden die mijn werk waardeert,” antwoordde hij per kerende post. “Ga mijn resultaten na, en als die overeenkomen met de uwe, dan zult u zien dat er waarheid schuilt in mijn berekeningen. Om mijn hersenen op peil te houden heb ik echter voedsel nodig en dat is momenteel mijn grootste zorg. Een aanbevelingsbrief van u zou mij kunnen helpen aan een beurs van de universiteit of van de regering.”
Ramanujan had zijn leven lang een slechte gezondheid. Hij was een strikte vegetariër en door de Eerste Wereldoorlog, die toen woedde, was in Engeland goed vegetarisch voedsel bijna niet te krijgen. In 1917 werd hij ernstig ziek en ten slotte in 1919 werd hem aangeraden naar India terug te keren. Hem was wel een beurs en hoogleraarschap aan de University of Madras in het vooruitzicht gesteld. Hij keerde verzwakt terug en kwijnde nog een jaar lang verder waarbij hij zich geheel aan zijn formules wijdde en stierf in 1920, slechts 32 jaar oud.
Toentertijd weet men zijn dood aan tuberculose maar naar tegenwoordig inzicht was het waarschijnlijker dat hij, vooral tijdens zijn Engelse periode, een uiteindelijk fataal tekort aan vitamine B12 had opgebouwd.
Toen Srinivasa Ramanujan op 32-jarige leeftijd stierf, liet hij bijna 3.900 complexe vergelijkingen en bijna geen bewijzen achter.
Een eeuw later decoderen wiskundigen zijn genialiteit nog steeds. Zijn werk werd voornamelijk vastgelegd in drie dikke notitieboekjes.
Deze notitieboekjes bevatten identiteiten die de getaltheorie, kettingbreuken en oneindige reeksen omvatten. Hij beweerde dat de hindoegodin Namagiri de formules aan hem had onthuld in zijn slaap, dus schreef hij eenvoudigweg de eindresultaten op toen hij wakker werd.
Ramanujans notitieboeken
Toen hij nog in India leefde, noteerde Ramanujan het grootste deel van zijn resultaten in vier notitieboeken van losbladige vellen. Deze resultaten werden meestal opgeschreven zonder enige afleiding. Dit is waarschijnlijk de oorsprong van de misvatting dat Ramanujan niet in staat zou zijn geweest om zijn resultaten te bewijzen en zijn uiteindelijke resultaten als een soort ingeving kreeg.
De wiskundige Bruce C. Berndt zegt in zijn bespreking van deze notitieboeken en Ramanujans werk, dat Ramanujan zeer zeker in staat was om de meeste van zijn resultaten ook zelf te bewijzen, maar er in zijn notitieboeken voor heeft gekozen dit niet te doen. Deze stijl van werken kan verschillende redenen hebben gehad. Aangezien papier erg duur was zou Ramanujan het grootste deel van zijn werk en misschien ook zijn bewijzen op een lei hebben uitgevoerd, om daarna alleen de resultaten over te nemen op papier.
Gebruik maken van een lei was in Ramanajuans tijd zeer gebruikelijk voor wiskundestudenten in India. Ramanujan is zeer waarschijnlijk ook sterk beïnvloed door de stijl van G.S. Carrs boek (“Synopsis of Elemementary Results in Pure Mathematics“), waarin resultaten zonder bewijzen werden gemeld. Ten slotte is het mogelijk dat Ramanujan zijn werk alleen noteerde voor zijn persoonlijk belang en daarom alleen de resultaten opschreef.
Het eerste notitieboek bevatte 351 pagina’s met 16 enigszins georganiseerde hoofdstukken en wat ongeorganiseerd materiaal. Het tweede notitieboek had 256 pagina’s in 21 hoofdstukken en 100 pagina’s ongeorganiseerd materiaal, terwijl het derde notitieboek uit 33 ongeorganiseerde pagina’s bestond. De resultaten in deze notitieboeken hebben talloze artikelen van latere wiskundigen geïnspireerd om de resultaten te bewijzen die Ramanujan had gevonden. Hardy zelf schreef een aantal artikelen, waar hij het werk van Ramanujan verkende, net als G.N. Watson, B.M. Wilson en Bruce Berndt. Een vierde notitieboek met 87 ongeorganiseerde pagina’s, het zogenaamde verloren notitieboek van Ramanujan, werd in 1976 herontdekt door George Andrews.
Voor de wiskundige gemeenschap was dit alsof je een kaart kreeg met de gemarkeerde bestemmingen, maar geen wegen die hen daarheen leiden.
De Engelse wiskundige Hardy, die de genialiteit van Ramanujan herkende en hem naar Cambridge bracht, probeerde jarenlang de methoden van zijn medewerker te ontrafelen.
De taak om elke claim in de originele notitieboekjes formeel te bewijzen viel op onderzoekers als Bruce C. Berndt die meer dan twintig jaar aan het project wijdde. Zijn team publiceerde uiteindelijk de proefdrukken in vijf delen tussen 1985 en 1998. Het werk eindigde daar niet.
In 1976 ontdekte wiskundige George Andrews Ramanujans “Lost Notebook“, niet gecatalogiseerd in de Trinity College-bibliotheek in Cambridge. Het manuscript bevatte meer dan 600 extra formules uit het laatste jaar van Ramanujans leven. Andrews en Berndt besteedden nog eens twintig jaar aan het bewijzen van deze resultaten en publiceerden hun laatste deel in 2018.
In zijn laatste dagen schetste Ramanujan een nieuwe klasse wiskundige objecten die ‘nep-theta-functies‘ worden genoemd. Decennia lang begreep niemand hoe ze in de bredere wiskunde pasten totdat Sander Zwegers een theoretisch raamwerk bood. Natuurkundigen gebruiken nu deze nep-thetafuncties om de entropie van zwarte gaten te berekenen en de geometrie te analyseren die ten grondslag ligt aan de snaartheorie. De naar hem genoemde Ramanujan-functie verklaart waarom er, als de supersnaartheorie waar is, er 10 of 26 dimensies moeten zijn.
Het “Lost Notebook”
Ramanujans verloren notitieboek is het manuscript waarin hij de wiskundige ontdekkingen in het laatste jaar (1919–1920) van zijn leven vastlegde. De verblijf-plaats ervan was voor iedereen, op enkele wiskundigen na, onbekend totdat het werd herontdekt George Andrews in 1976, in een doos van G.N. Watson opgeslagen in de Wren Library van Trinity College, Cambridge. Het “notitieboekje” is geen boek, maar bestaat uit losse en ongeordende vellen papier die worden beschreven als “meer dan honderd pagina’s geschreven in het kenmerkende handschrift van Ramanujan. De bladen bevatten meer dan zeshonderd wiskundige formules die opeenvolgend zonder bewijzen werden vermeld.”
George Andrews en Bruce C. Berndt hebben verschillende boeken gepubliceerd waarin ze bewijzen geven voor de formules van Ramanujan die in het notitieboekje zijn opgenomen. Volgens Berndt “veroorzaakte de ontdekking van dit ‘Lost Notebook’ in de wiskundige wereld ongeveer evenveel opschudding als de ontdekking van Beethovens tiende symfonie zou veroorzaken in de muzikale wereld.“
Geschiedenis
Nadat Ramanujan op 26 april 1920 op 32-jarige leeftijd stierf, gaf zijn vrouw zijn notitieboekjes aan de Universiteit van Madras. Op 30 augustus 1923 stuurde griffier Francis Drewsbury een groot deel van dit materiaal naar G.H. Hardy, Ramanujans mentor aan het Trinity College.
… Vrijwel zeker is dit manuscript, of in ieder geval het grootste deel ervan, geschreven tijdens het laatste jaar van Ramanujans leven, na zijn terugkeer naar India vanuit Engeland. … Het manuscript bevat geen inleiding of begeleidende brief. Sterker nog, er staan nauwelijks woorden in het manuscript. Er zijn kennelijk een paar markeringen aangebracht door een catalogiseerder, en er staan een paar opmerkingen in het handschrift van G.H. Hardy. Ongetwijfeld zijn de bekendste objecten die in het verloren notitieboekje worden onderzocht de mock theta-functies …
Ergens tussen 1934 en 1947 heeft Hardy het notitieboekje waarschijnlijk door-gegeven G.N. Watson, die met B.M. Wilson begonnen was met het project om de notitieboekjes van Ramanujan te bewerken. Wilson overleed echter in 1935 en Watson lijkt eind jaren dertig zijn interesse in het project te hebben verloren. Na de dood van Watson in 1965 onderzocht J.M. Whittaker Watsons papieren (die in wanorde verkeerden, en een kamervloer bedekten tot een hoogte van 30 cm en ze zouden binnen een paar dagen worden verbrand) en hij vond gelukkig het notitie-boekje van Ramanujan, waarna hij en R.A. Rankin het verzonden naar Trinity College Wren-bibliotheek op 26 december 1968. George Andrews vond, naar aanleiding van een suggestie van Lucy Slater, het verloren notitieboekje in het voorjaar van 1976 tijdens een bezoek aan Trinity College. Het werd uiteindelijk op 22 december 1987 gepubliceerd door uitgeverij Narosa.
Andrews’ verslag van de ontdekking
George Andrews, een Amerikaanse wiskundige, schreef in 2012 een verslag van de ontdekking voor de 125e viering van de geboorte van Ramanujan. In zijn verslag stelt Andrews dat hij al een gevorderd onderzoeker was op gebieden als mock theta-functies en hypergeometrische reeks, nauw verwant aan het werk van Ramanujan. In 1970, tijdens een sabbatical, schreef hij naar de Britse wiskundige Lucy Slater.
Slater verklaarde in haar antwoord dat ze een “geweldige verzameling” artikelen had geërfd van wiskundigen als Watson, Bailey, Jackson en Rogers, die ongesorteerd waren, waaronder een van de laatste van Ramanujan. Ze zei ook dat andere papieren in het bezit waren van de bibliotheek van het Trinity College.
Hoewel hij in 1970 niet naar Europa kon reizen, kon Andrews dit wel doen in 1976, toen hij een Europese conferentie zou bijwonen Straatsburg, nabij de Frans-Duitse grens. Hij kreeg toestemming en steun van Slater, en van de bibliotheek van het Trinity College en van zijn professor, Ben Noble, om Cambridge na de conferentie te bezoeken, om de “onschatbare” ongepubliceerde geschriften van Watson te onderzoeken. Noble voegde eraan toe dat, als hij tegelijkertijd kon proberen een verloren notitie te vinden van James Clerk Maxwell, dat zeer op prijs zou worden gesteld. De documenten in de bibliotheek bevatten een lijst met zaken uit Watsons nalatenschap. In de lijst stond het item “Een manuscript van 139 pagina’s door S. Ramanujan over q-series”, met daarin het werk uit Ramanujans laatste jaar.
Hoewel niet als zodanig geëtiketteerd, werd de identiteit van de papieren vastgesteld omdat Ramanujans laatste brieven aan Hardy hadden verwezen naar de ontdekking van wat Ramanujan mock-thetafuncties noemde, zij het zonder veel details, en het manuscript bevatte zijn volledige aantekeningen hierover.