Ergens in mijn middelbare schooltijd heb ik de stelling van Pythagoras zonder meer voor waar aangenomen, want ik kan mij niet herinneren dat er ooit een bewijs voorbij gekomen is. Terwijl het zo simpel blijkt te zijn:
Bovenstaande figuur geeft een vierkant weer met zijden (a+b) lang. Die lengtes a en b zijn ook de aanliggende zijden van 4 rechthoekige driehoeken. Die 4 driehoeken hebben een schuine zijde van c lang. Voor de driehoek ABC willen we bewijzen dat a2 + b2 = c2 want dat zegt de stelling van Pythagoras.
De oppervlakte van het grote vierkant is: (a + b)2 ofwel a2 + 2ab + b2 .
Die oppervlakte is ook de oppervlakte van de 4 driehoeken plus het ingeschreven vierkant. De oppervlakte van één driehoek is ab/2 (basis x halve hoogte), dus van alle 4 wordt dat: 2ab. De oppervlakte van het ingeschreven vierkant is c2 dus het totaal is 2ab + c2 .
Die oppervlakte berekeningen moeten gelijk aan elkaar zijn: a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 en dat is weer gelijk aan: a2 + b2 = c2 QED.
Voor de goede orde: we moeten wel nog aantonen dat de vier rechthoekige driehoeken in de afbeelding hierboven inderdaad een vierkant (met gelijke zijden en rechte hoeken) omsluiten.
Dat de zijden gelijk zijn is evident, want het zijn 4 evengrote driehoeken. Blijft over of de hoeken 90o zijn.
Dat tonen we aan met het feit dat de 3 hoeken die samen komen in punt A en in punt B optellen tot 180o en dat de 2 hoeken van de driehoeken te samen 90o moeten zijn (want de andere hoek is recht), dus blijft er 90o over voor de hoeken van het ingesloten vierkant QED.
Pythagoras
Pythagoras (Oudgrieks: Πυθαγόρας, ca. 570 v.Chr.–500 v.Chr.) was een van de presocratische filosofen. Hij was de zoon van de welgestelde koopman Mnesarchus en Pythais, werd rond 570 v.Chr. (569) geboren op het eiland Samos, dat toendertijd op het hoogtepunt was van zijn welvaart. Met zijn vader reisde hij vanaf jonge leeftijd veel en zo leerde hij al vroeg de wijde wereld kennen. Volgens de neoplatonist Jamblichus was Pythagoras’ moeder Parthenis (parthenos, maagd) en was hij (net als Jezus) ‘maagdelijk geboren‘ als de zoon van de zonnegod Apollo. Daarmee gaf hij de zienswijze weer, dat Pythagoras door de goddelijke wereld gestuurd was om de mensen te verlossen.
Volgens Porphyrius en Jamblichus ging de achttienjarige Pythagoras op Lesbos bij de filosoof Pherecydes in de leer, die het boek Natuur en Goden had geschreven. Vervolgens zou hij in Milete met de ongeveer negentigjarige natuurfilosoof Thales van gedachten hebben gewisseld. Thales had zijn opleiding in Egypte ontvangen en was de eerste Griek die zich met ‘wetenschappelijke astronomie‘ bezig hield. Hij kon berekenen wanneer er een zonsverduistering zou optreden.
Pythagoras zou ook de natuurwetenschapper en filosoof Anaximander hebben bezocht.
Volgens Jamblichus leerde Pythagoras daarna de getallenleer van de Phoeniciërs, de geometrie en astronomie van de Egyptenaren en Chaldeeërs en muziek- en andere wetenschappen van de Perzische Magie (magiërs).
Toen hij 22 jaar was werd Pythagoras priester in Sidon in Phoenicië. De Egyptische priesterscholen waren de achtergrond van de Phoenicische inwijdingen en daarom ging hij naar Egypte. In Heliopolis en Memphis werd hij niet toegelaten en hij reisde naar Thebe. Aan de ‘priesteruniversiteiten‘ stonden de wetenschappen in de eerste plaats in dienst van de bewustzijnsontwikkeling van mens en mensheid.
Na zijn verblijf in Egypte is Pythagoras waarschijnlijk naar Babylonië gegaan. Volgens Jamblichus verbleef Pythagoras 22 jaar in Egypte en werd hij door de Perzische koning Cambyses in 525 naar Babylon overgebracht, waar hij nog twaalf jaar verbleef. Maar dit is niet te rijmen met het feit dat Pythagoras al in 532 naar Beneden-Italië kwam. Mogelijk zijn de getallen ’22’ en ’12’ symbolisch voor respectievelijk ‘alle aspecten van een leer‘ en een ‘volkomen tijdsperiode‘.
Op Kreta zou hij de mysteriën van Zeus hebben bijgewoond, in Delphi de vieringen van Dionysus en Apollo, in Thracië de Orfische mysteriën en op Samothrace de Kabirencultus.
Pythagoras zou de meeste van zijn ethische leerstellingen hebben geleerd van de priesteres Themistoclea uit Delphi. Als bron voor deze bewering noemt de biograaf Diogenes Laërtius in zijn boek Leven en leer van beroemde filosofen de filosoof Aristoxenus (4e eeuw v.Chr.).